Chủ đề này có 1 trả lời

[Namthemaster1234]

Với $p,q,r$ là các số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên thì : $p^n+q^n=r^2$. Chứng minh $n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 17-07-2016 - 21:10

[Minhnguyenthe333]

Với $p,q,r$ là các số nguyên tố, $n$ là số tự nhiên thì : $p^n+q^n=r^2$. Chứng minh $n=1$

Nếu $p,q>2:$
Suy ra $r=2$ và $p^n+q^n=4<=>p=q=2$ hay $n=1$
Xét $p=2$ và $q>3:$
$TH1: n$ chẵn
$PT<=>(2^k)^2+(q^k)^2=r^2$ $(k>1)$ .Đây là phương trình Pytago nên tồn tại 2 số nguyên dương $m,b$ thoả mãn:'
$r=m^2+b^2$, $q^k=m^2-b^2$ và $2^k=2mb<=>2^{k-1}=mb$
Chú ý rằng $q^k=(m-b)(m+b)$ nên $m,b$ khác tính chẵn lẻ
$=>b=1$ và $m=2^{k-1}$
Khi đó $q^k=(m-1)(m+1)$ kéo theo $m-1=q^u$ và $m+1=q^v$ $(u+v=k)$
$<=>2=q^v-q^u=q^u(q^{v-u}-1)<=>....=>PT$ vô nghiệm khi $n$ chẵn
$TH2: n$ lẻ $(n>1)$
Gọi $\alpha$ là ước nguyên tố của $q+2$, áp dụng bổ đề LTE:
$v_{\alpha}(q^n+2^n)=v_{\alpha}(q+2)+v_{\alpha}(n)=v_{\alpha}(r^2)$
mà $\alpha,r$ là 2 số nguyên tố nên $v_{\alpha}(r^2)=0$
Kéo theo $v_{\alpha}(q^n+2^n)=0$ (vô lí)
Vậy $n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 18-07-2016 - 10:24