Chủ đề này có 5 trả lời

[Element hero Neos]

Bài 1:

 Cho

 $a_n=n^2+100, n\geq 1.$

 Đặt 

$d_n=(a_n,a_{n+1}).$

 Tìm

$Max d_n$

Bài 2:

 Cho 

$a,b\in\mathbb{Z^+}, (a,b)=d.$

 Chứng minh 

$(a^n-1;a^m-1)=a^{(m,n)}-1$

Bài 3:

 Cho 

$m\in\mathbb{Z^+}; a,b\in\mathbb{Z}; (a,m)=(b,m)=1$

 Và 

$x,y\in\mathbb{Z}$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a^x\equiv b^x(mod m)\\ a^y\equiv b^y(mod m) \end{matrix}\right.$

 Chứng minh  

$a^{(x,y)}\equiv b^{(x,y)}(mod m)$

[I Love MC]

Bài 2:  $(m,n)=d$ nhé 
Đặt $d'=(a^m-1,a^n-1)$ . Đặt $m=d.m_1,n=d.n_1$ 
Ta có $a^m-1 \vdots a^d-1,a^n-1 \vdots a^d-1$ 
Suy ra $d' \vdots a^d-1$ 
Mà $(m,n)=d$ nên tồn tại $2$ số nguyên $x,y$ để mà $mx-ny=d$ (bổ đề quen thuộc) 
Ta có $a^m-1 \vdots d' \Rightarrow a^{mx}-1 \vdots d'$ 
Tương tự $a^{ny}-1 \vdots d'$ 
Suy ra $a^{ny}.(1-a^{d}) \vdots d'$ mà $(a,d')=1$  nên $a^d-1 \vdots d'$ 
Suy ra $d'=a^d-1$ (đpcm)

[Element hero Neos]

Bài 2:  $(m,n)=d$ nhé 
Đặt $d'=(a^m-1,a^n-1)$ . Đặt $m=d.m_1,n=d.n_1$ 
Ta có $a^m-1 \vdots a^d-1,a^n-1 \vdots a^d-1$ 
Suy ra $d' \vdots a^d-1$ 
Mà $(m,n)=d$ nên tồn tại $2$ số nguyên $x,y$ để mà $mx-ny=d$ (bổ đề quen thuộc) 
Ta có $a^m-1 \vdots d' \Rightarrow a^{mx}-1 \vdots d'$ 
Tương tự $a^{ny}-1 \vdots d'$ 
Suy ra $a^{ny}.(1-a^{d}) \vdots d'$ mà $(a,d')=1$  nên $a^d-1 \vdots d'$ 
Suy ra $d'=a^d-1$ (đpcm)

Phiền chứng minh hộ cái bổ đề quen thuộc này cái 

[I Love MC]

Bài 1 : Dễ có $(n^2+2n+101,n^2+100)=(2n+1,n^2+100)=(2n+1,4n-399)=d$  
Suy ra $401 \vdots d \Rightarrow 401 \ge d$  
Suy ra $max_d=401$ 
Thật vậy lấy $n=200$ thì $d_n=401$ 

[I Love MC]

Phiền chứng minh hộ cái bổ đề quen thuộc này cái 

Bổ đề rộng hơn : Nếu $(a,b)=d$ thì tồn tại $x,y$ thuộc $Z$ sao cho : 
$ax+by=d$ 
Xét tất cả các số có dạng $ax+by$ ,trong các số đó ta chọn ra số dương nhỏ nhất. Giả sử $ax_0+by_0=p$ . Ta chứng minh $p=d$ 
Thật vậy giả sử $a=pq+r$ ,$0 \le r <p$ 
Khi đó $r=a-pq=a(1-qx_0)+b(-q.y_0)$ nên $r$ có dạng $ax+by$ và $r<p$ do đó $r=0$ hay $p|a$ 
Lập luận tương tự cũng có $p|b$ . $p|a,b \Rightarrow p|d$ nhưng $d|a,b$ nên $d|p$ . Vậy $p=d$ 
 

[I Love MC]

Bài 3 : $gcd(x,y)=ux-vy$ 
Ta có $a^{ux} \equiv b^{ux},a^{vy} \equiv b^{vy} \pmod{m}$ 
Suy ra $a^{ux+vy} \equiv b^{ux+vy} \mod{m}$ với chú ý rằng $(a,m)=(b,m)=1$  
Suy ra $a^{gcd(x,y)} \equiv a^{ux-vy} \equiv b^{ux-vy} \equiv b^{gcd(x,y)} \pmod {m}$