Chủ đề này có 6 trả lời

[nilll gate]

Cho a , b , c >0  và abc=1

Chứng Minh  : $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq 9(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

[Math Master]

Cho a , b , c >0  và abc=1

Chứng Minh  : $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq 9(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

Tham Khảo lời giải của Thầy Cẩn mà mình đã từng đọc

BĐT đưa về $C/m (a^2+b^2+c^2)^3 \geq 9abc(a^3+b^3+c^3)$

KMTTQ giả sử $a =$ $max${$a;b;c$} (*)

Mà $9abc(a^3+b^3+c^3) = 27(ab)(ac)\frac{a^3+b^3+c^3}{3a} \leq (ab+ac+\frac{a^3+b^3+c^3}{3a})^3$

$= (ab+bc+ca+\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3a})^3$

Quy về C/m $ab+bc+ca+\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3a} \leq (a^2+b^2+c^2)$

$<=> (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(1-\frac{a+b+c}{3a}) \geq 0 <=> 2a \geq b+c$ (Luôn đúng vì (*))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 20-07-2016 - 20:10

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a , b , c >0  và abc=1

Chứng Minh  : $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geq 9(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

 

Ta thuần nhất bất đẳng thức lại dưới dạng

\[(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geqslant 9abc(a^{3}+b^{3}+c^{3}),\]

hay là

\[\sum \left [a^4+11c^4+6b^3c+2ab^3+4ca^3+3c^2a^2+2(a^2-bc)^2+3(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2  \right ](a-b)^2 \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

[iloveyouproht]

Ta thuần nhất bất đẳng thức lại dưới dạng

\[(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3} \geqslant 9abc(a^{3}+b^{3}+c^{3}),\]

hay là

\[\sum \left [a^4+11c^4+6b^3c+2ab^3+4ca^3+3c^2a^2+2(a^2-bc)^2+3(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2  \right ](a-b)^2 \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng.

Ah có thủ thuật gì khi phân tích được ra như thế không ạ

[Nguyenhuyen_AG]

Ah có thủ thuật gì khi phân tích được ra như thế không ạ

 

Em dung hệ số bất định. Khi triển bất đẳng thức tổng quát bên dưới rồi đồng nhất hệ số với bất đẳng thức cần minh. Bản chất của việc này là giải một hệ phương trình tuyến tính.

[iloveyouproht]

Em dung hệ số bất định. Khi triển bất đẳng thức tổng quát bên dưới rồi đồng nhất hệ số với bất đẳng thức cần minh. Bản chất của việc này là giải một hệ phương trình tuyến tính.

Ah có tài liệu gì về pp này không ạ ! E nghe k hiểu ý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi iloveyouproht: 01-08-2016 - 16:30

[Nguyenhuyen_AG]

Ah có tài liệu gì về pp này không ạ ! E nghe k hiểu ý

 

Cái này anh tự viết thôi không có tài liệu nào cả.