Chủ đề này có 6 trả lời

[Black Pearl]

cho $a,b,c,d>0$ 

cmr $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$

2. cho a, b, c>0

cmr $\frac{bc}{a^2b+a^2}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

3. Cho a, b, c>0

và $12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Cho $a, b,c >0$ và $a+b+c=2$

cmr $A=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\leq 4$

4. cho $a, b,c>0$ và $a+b+c=1$

Tìm min $A=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}$

[Baoriven]

cho $a,b,c,d>0$ 

cmr $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$

2. cho a, b, c>0

cmr $\frac{bc}{a^2b+a^2}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

3. Cho a, b, c>0

và $12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Cho $a, b,c >0$ và $a+b+c=2$

cmr $A=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\leq 4$

4. cho $a, b,c>0$ và $a+b+c=1$

Tìm min $A=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}$

Áp dụng B-C-S ta được: $A^{2}\leq 3.\left [ 2(a+b+c)+(ab+bc+ca) \right ]\leq 3.\left [ 2(a+b+c)+\frac{(a+b+c)^{2}}{3} \right ]=16\Leftrightarrow A\leq 4$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = 2/3

[thinhnarutop]

Câu 1) Có điều kiện a + b + c + d = 4 không vậy bạn vì với $a=\frac{1}{10},b=\frac{1}{5},c=\frac{3}{10},d=\frac{2}{5}$ thì $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{a+c+d}+\frac{c^{2}}{a+b+d}+\frac{d^{2}}{a+b+c}=\frac{115}{252}< \frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 21-07-2016 - 18:08

[Black Pearl]

Câu 1) Có điều kiện a + b + c + d = 4 không vậy bạn vì với $a=\frac{1}{10},b=\frac{1}{5},c=\frac{3}{10},d=\frac{2}{5}$ thì $\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{a+c+d}+\frac{c^{2}}{a+b+d}+\frac{d^{2}}{a+b+c}=\frac{115}{252}< \frac{4}{3}$

ko. đây cm bđt cơ

[cristianoronaldo]

cho $a,b,c,d>0$ 

cmr $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$

2. cho a, b, c>0

cmr $\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

3. Cho a, b, c>0

và $12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Cho $a, b,c >0$ và $a+b+c=2$

cmr $A=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\leq 4$

4. cho $a, b,c>0$ và $a+b+c=1$

Tìm min $A=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{a}\\ y=\frac{1}{b}\\ z=\frac{1}{c}\end{matrix}\right.$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sum \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{(\sum x)^2}{\sum y+z}=\frac{x+y+z}{2}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

[cristianoronaldo]

cho $a,b,c,d>0$ 

cmr $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$

2. cho a, b, c>0

cmr $\frac{bc}{a^2b+a^2}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

3. Cho a, b, c>0

và $12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Cho $a, b,c >0$ và $a+b+c=2$

cmr $A=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\leq 4$

4. cho $a, b,c>0$ và $a+b+c=1$

Tìm min $A=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}$

Ta có:

$A=\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$A\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a\sqrt{b+c}}= \frac{1}{\sum \sqrt{a}.\sqrt{ab+ac}}\geq \frac{1}{(\sum a)(\sum ab+ac)}= \frac{1}{2(\sum ab)}\geq \frac{3}{2(\sum a)^2}=\frac{3}{2}$

Vậy Min A là $\frac{3}{2}$

[cristianoronaldo]

cho $a,b,c,d>0$ 

cmr $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$

2. cho a, b, c>0

cmr $\frac{bc}{a^2b+a^2}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

3. Cho a, b, c>0

và $12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Cho $a, b,c >0$ và $a+b+c=2$

cmr $A=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\leq 4$

4. cho $a, b,c>0$ và $a+b+c=1$

Tìm min $A=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}$

Ta có:

$3+\sum \frac{1}{a}=12(\sum \frac{1}{a^2})\geq 4(\sum \frac{1}{a})^2$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a}\leq 1$

Ta lại có:

$\sum \frac{1}{4a+b+c }\leq \frac{1}{36}(\sum \frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{1}{6}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=3