131 replies to this topic

[DangHongPhuc]

50. ĐK: $a,b,c> 0$; $abc=1$

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 2$

Edited by DangHongPhuc, 04-08-2016 - 15:29.

[DangHongPhuc]

51. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c= \sqrt{abc}$

$ab+bc+ca\geq 9(a+b+c)$

Edited by DangHongPhuc, 04-08-2016 - 15:29.

[DangHongPhuc]

52. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=1$

$\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$

[DangHongPhuc]

53. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=\frac{1}{3}$

$abc+9\left ( \frac{a^{5}}{4b^{2}+bc+4c^{2}} +\frac{b^{5}}{4c^{2}+ca+4a^{2}}+\frac{c^{5}}{4a^{2}+ab+4b^{2}}\right )\geq \frac{1}{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

[DangHongPhuc]

54. Tìm tất cả bộ ba số thực dương $(a,b,c)$ sao cho 2 bất đẳng thức sau đều đúng:

$x+y+z-2xyz\leq 1$ và $xy+yz+zx+\frac{1}{xyz}\leq 4$

[githenhi512]

50. ĐK: $a,b,c> 0$; $abc=1$

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 2$

Dễ CM: $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq \frac{2}{3}(a+b+c)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{1}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=1

[githenhi512]

46. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=1$

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

$VT=\sum \frac{a}{\sqrt{(b+c).\frac{2}{3}}.\sqrt{\frac{3}{2}}}\geq \sqrt{\frac{2}{3}}.\sum \frac{2a}{b+c+\frac{2}{3}}\geq 2.\frac{2}{3}.\frac{(\sum a)^2}{2\sum ab+\frac{2}{3}\sum a}\geq 2.\sqrt{\frac{2}{3}}.\frac{1}{2.\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

[githenhi512]

49. ĐK: $a,b,c> 0$; $(a+b)(b+c)(c+a)=1$

$ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Dễ CM: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc+(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{1}{8}+1)(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{9}{8}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8\sum a}$

Lại có: $1=(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{27}.(2\sum a)^3\Rightarrow \sum a\geq \frac{3}{2}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8.\frac{3}{2}}=\frac{3}{4}$(đpcm)

Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5

[githenhi512]

20.ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=3$

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

$\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq a+1-\frac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq 3+\frac{\sum a}{2}-\frac{\sum ab}{2}\geq 4.5-\frac{(\sum a)^2}{6}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=1

[loolo]

43. ĐK: $a,b,c> 0$; &a+b+c=1$
$\frac{1-2ab}{c}+\frac{1-2bc}{a}+\frac{1-2ca}{b}\geq 7$

Ta có: $\sum \frac{1-2ab}{c}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ac}{c}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+4(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}.\frac{9}{a+b+c}+4=7$

 

Bạn đăng những bài chưa làm và bài còn lại đi!

 

Edited by loolo, 07-09-2016 - 14:38.

[loolo]

42. ĐK: $a,b,c> 0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{3}}{2b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{2c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{2a^{2}+b^{2}}\geq 1$

Bổ đề: $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

            $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\sum \frac{a^{4}}{2ab^{2}+ac^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+(ac^{2}+ba^{2}+cb^{2})}\geq \frac{9}{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=1$

[DangHongPhuc]

Ta có: $\sum \frac{1-2ab}{c}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc+2ac}{c}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+4(a+b+c)\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}.\frac{9}{a+b+c}+4=7$

Xin lỗi bạn nhé nhưng mình hơi bận nên ko đăng dc nên mọi người vui lòng chờ dịp nào đó mình đăng vậy. Mình cảm ơn các bạn đã ủng hộ mình!

[DangHongPhuc]

Nhớ pic quá với lại thấy pic được nhiều người quan tâm. Nhân dịp tìm được nhiều bài mới, cuối tuần này mình sẽ đăng bài tiếp. MOng cái bạn ủng hộ để pic phát triển hơn cả lúc trước.

[DangHongPhuc]

Lần này sẽ là những bài khó hơn lần trước nhé

[DangHongPhuc]

1. Cho $a,,b$ là những số thực dương, chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{\frac{(a+b)\left ( a^{2}+b^{} \right )}{4}}\geq \sqrt{\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}}$

Edited by DangHongPhuc, 30-10-2016 - 15:15.

[DangHongPhuc]

2. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $abc=1$, chứng minh rằng:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$

[DangHongPhuc]

3. Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=\frac{1}{3}$, chứng minh rằng:

$\frac{a}{a^{2}-bc+1}+\frac{b}{b^{2}-ca+1}+\frac{c}{c^{2}-ab+1}\geq \frac{1}{a+b+c}$

[DangHongPhuc]

4. Cho $a,b,c$ là những số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$, chứng minh rằng:

$\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\left ( b^{2}-bc+c^{2} \right )\left ( c^{2}-ca+a^{2} \right )\leq 12$

[DangHongPhuc]

5. Cho $a,b,c,x,y,z$ là những số thực dương thỏa mãn $a+x=b+y=c+z=1$, chứng minh rằng:

$\left ( abc+xyz \right )\left ( \frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx} \right )\geq 3$

[yagami wolf]

4.$a^2-ab+b^2\leq (a-b)^2+\frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow \prod (a^2-ab+b^2)\leq \frac{\left [ (a+b)(b+c)(c+a) \right ]^2}{64}\leq 12$ (am-gm)