Chủ đề này có 2 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán. Tìm số $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ thỏa mãn tính chất $\sqrt{\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$.

[tpdtthltvp]

Bài toán. Tìm số $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}$ thỏa mãn tính chất $\sqrt{\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$.

Giả thiết tương đương: $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}=(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_n)^2$

Suy ra: $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}\leq (9n)^2=81n^2.$ Ta sẽ chứng minh với $n\geq 5$ thì $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}> (9n)^2\;\;\;\;\;\;\;\(1)$

Thật vậy, với $n=5$ thì $(1)$ đúng. Giả sử đúng với $n=k(k\geq 5),$ thì $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{k}}> 81k^2.$Ta đi chứng minh đúng với $n=k+1.$ Với $n=k+1,$ ta có: $(1)\Leftrightarrow \overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{k+1}}> 81(k+1)^2\Leftrightarrow 10.\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}+a_{k+1}>81k^2+162k+81$

Mà $\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}>81k^2\Rightarrow 10.\overline{a_{1}a_{2}...a_{n-1}a_{n}}+a_{k+1}>810k^2.$ Ta thấy $810k^2>81k^2+162k+81\Leftrightarrow 719k^2-162k-81>0.$ Đặt $f(x)=719k^2-162k-81$ thì $f(x)$ đồng biến trên $\left [ 5;\infty+  \right ]$ nên $f(x)\geq f(5)>0.$

Từ đó suy ra $n\leq 4\Rightarrow n\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}.$

• $n=1:$ thì $a_1=a_1^2\Rightarrow a_1=1.$ Số cần tìm là $1$
• $n=2:$ thì $\overline{a_1a_2}=(a_1+a_2)^2.$ Để ý $a_2\in \left \{ 0;1;4;5;6;9 \right \}.$ Thế vào phương trình $10a_1+a_2=(a_1+a_2)^2$ được số cần tìm là $81$
• $n=3:$ thì $\overline{a_1a_2a_3}=(a_1+a_2+a_3)^2\Rightarrow 10\leq a_1+a_2+a_3\leq 27.$ Thử từng TH thấy không có số nào thỏa mãn
  P/S

  Chỗ này ai có ý tưởng gì hay hơn thì cho ý kiến nhé.
  Có thể tham khảo phần nà của Hai2003 bên dưới 
• $n=4$ thì $\overline{a_1a_2a_3a_4}=(a_1+a_2+a_3+a_4)^2\Rightarrow 31\leq a_1+a_2+a_3+a_4\leq 36.$ Cái này ít TH nên thử được, cũng vô nghiệm.

Vậy các số cần tìm là $1;81$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 02-08-2016 - 06:19

[Hai2003]

Ta có $\overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}=(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n)^2$

Dễ thấy $\overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}$ có tối đa 4 chữ số. Vì nếu có 5 chữ số thì GTLN của $(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)^2$ là $2025$ , chỉ có 4 chữ số.

Phân tích kĩ hơn, nếu $\overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}$ có 4 chữ số thì GTLN của $(a_1+a_2+a_3+a_4)^2$ là $1296$, nên $\overline{a_1a_2a_3a_4}\leq 1296$. Với điều kiện này thì GTLN của $(a_1+a_2+a_3+a_4)^2$ là $400$, chỉ có 3 chữ số.

Vậy số cần tìm có 2 hoặc 3 chữ số. (với 1 chữ số thì chỉ có $1$ thỏa điều kiện)

 

TH1: Số cần tìm là $\overline{ab}$

Ta có $10a+b=(a+b)^2 \Leftrightarrow (a+b-5)^2=25-9b$

Vì $25-9b$ phải là số chính phương nên $b=1 \implies a=8$, hay số cần tìm là $81$

 

TH2: Số cần tìm là $\overline{abc}$

$100a+10b+c=(a+b+c)^2 \Leftrightarrow (a+b+c-50)^2=2500-90b-99c$

Vì $2500-90b-99c$ chia 9 dư 7 nên $a+b+c$ chia hết cho 9 hoặc chia 9 dư 1

Nếu $a+b+c=9\Rightarrow \overline{abc}=81$ (vô lý)

Nếu $a+b+c=10\Rightarrow \overline{abc}=100$ (vô lý)

Nếu $a+b+c=18\Rightarrow \overline{abc}=324$ (vô lý)

Nếu $a+b+c=19\Rightarrow \overline{abc}=361$ (vô lý)

Nếu $a+b+c=27\Rightarrow \overline{abc}=729$ (vô lý)

$\implies$ TH này vô nghiệm.

 

Vậy có 2 số thỏa tính chất của đề bài cho là $\color{red}{1}$ và $\color{blue}{81}$