Chủ đề này có 6 trả lời

[KaveZS]

Liệu có tồn tại 5 hệ số a,b,c,d,e ∈ Z thỏa mãn PT ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 có 3 nghiệm vô tỷ phân biệt?

[An Infinitesimal]

Liệu có tồn tại 5 hệ số a,b,c,d,e ∈ Z thỏa mãn PT ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 có 3 nghiệm vô tỷ phân biệt?

 

Có 3 được hiểu như thế nào? Có chính xác 3 hay có đúng 3?

 

Nếu có ít nhất ba thì có thể chỉ ra đa thức sau

 

\[(x^2 - 2)(x^2 - 3)=x^4 - 5x^2 + 6.\]

 

Nếu có đúng 3 thì có lẽ là không?  Câu trả lời là không.

Xét phương trình $\cos{(3\alpha)}= \frac{1}{2}$ với $\alpha \in [0,\pi].$

Phương trình này sẽ "tương ứng" (có biến đổi) với một đa thức hệ số nguyên $ P(x) $  theo $x=\cos\alpha$.

Đa thức này có ba nghiệm vô tỉ  có ba nghiệm vô tỉ  $\cos\frac{\pi}{9},\,\cos\frac{5\pi}{9},\, \cos\frac{7\pi}{9}.$

 

Do đó $(x-1)P(x)$ là đa thức cần tìm.

[An Infinitesimal]

Hi vọng tiếp tục thảo luận bài toán "liên quan":

Tìm tất cả các số hữu tỉ  $p$ sao cho $\cos{(p \pi)}\in \mathbb{Q}.$

 

Một lời giải thoáng qua nhưng nó không đẹp và phức tạp lắm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 23-08-2016 - 11:30

[KaveZS]

 

Có 3 được hiểu như thế nào? Có chính xác 3 hay có đúng 3?

 

Nếu có ít nhất ba thì có thể chỉ ra đa thức sau

 

\[(x^2 - 2)(x^2 - 3)=x^4 - 5x^2 + 6.\]

 

Nếu có đúng 3 thì có lẽ là không?  Câu trả lời là không.

Xét phương trình $\cos{(3\alpha)}= \frac{1}{2}$ với $\alpha \in [0,\pi].$

Phương trình này sẽ "tương ứng" (có biến đổi) với một đa thức hệ số nguyên $ P(x) $  theo $x=\cos\alpha$.

Đa thức này có ba nghiệm vô tỉ  có ba nghiệm vô tỉ  $\cos\frac{\pi}{9},\,\cos\frac{5\pi}{9},\, \cos\frac{7\pi}{9}.$

 

Do đó $(x-1)P(x)$ là đa thức cần tìm.

 

 

Có đúng 3 nghiệm vô tỷ phân biệt bạn ak.

Giải PT^4 quy về tích (ax² + bx + c)(dx² + ex + f) = 0 phần lớn mình toàn ra 2, hoặc 4 nghiệm vô tỷ

Ko biết là có PT^4 nào lại ra 1 hay 3 nghiệm vô tỷ ko nên hỏi thử

[An Infinitesimal]

Có đúng 3 nghiệm vô tỷ phân biệt bạn ak.

Giải PT^4 quy về tích (ax² + bx + c)(dx² + ex + f) = 0 phần lớn mình toàn ra 2, hoặc 4 nghiệm vô tỷ

Ko biết là có PT^4 nào lại ra 1 hay 3 nghiệm vô tỷ ko nên hỏi thử

Mình đã xử lý nó trong phần hide

[KaveZS]

Mình đã xử lý nó trong phần hide

Mình thấy rùi nhưng từ phần bạn xét phương trình cos(3a)... mình ko hiểu, với cả bạn xét để làm gì?

[An Infinitesimal]

Mình thấy rùi nhưng từ phần bạn xét phương trình cos(3a)... mình ko hiểu, với cả bạn xét để làm gì?

\[Q(x)=(x-1)(8x^3-6x-1)\in \mathbb{Z}[x]\]

có 3 nghiệm vô tỉ và một nghiệm hữu tỉ.