Chủ đề này có 4 trả lời

[Black Pearl]

Cho $x+y+z=1$ tìm max của $A=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})$

[Element hero Neos]

Cho $x+y+z=1$ tìm max của $A=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})$

Ta có

$A=\prod(x+\frac{1}{x})=\prod\frac{x+1}{x}$

Đặt

$(x+1;y+1;z+1)\rightarrow (a;b;c)$

Khi đó ta có

$\left\{\begin{matrix} A=\prod\frac{a}{a-1}\\ \sum a=4 \end{matrix}\right.$

Đến đây dễ có

$A\geq 64$ (theo bài này)

Vậy $MaxA=64\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.

[Black Pearl]

Ta có

$A=\prod(x+\frac{1}{x})=\prod\frac{x+1}{x}$

Đặt

$(x+1;y+1;z+1)\rightarrow (a;b;c)$

Khi đó ta có

$\left\{\begin{matrix} A=\prod\frac{a}{a-1}\\ \sum a=4 \end{matrix}\right.$

Đến đây dễ có

$A\geq 64$ (theo bài này)

Vậy $MaxA=64\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$.

Mình không hiểu lắm

[superpower]

Cho $x+y+z=1$ tìm max của $A=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z})$

Hình như bài này min mới đúng

Ta dự đoán $A_{min} = 64 $

Do đó, ta cần chứng minh $(x+1)(y+1)(z+1) \leq 64xyz $ ( quy đồng )

                                           $xy+yz+zx + 2 \geq 63xyz $

Mà $xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} $

Do đó đặt $t=\sqrt[3]{xyz} $

Thì bđt của ta trở thành $3t^2 +2 \geq 63t^3 => (3t-1)(21t^2+6t+2) \leq 0 $ Đúng do $t \leq \frac{1}{3} $ theo bđt AM-GM 

P/S: mới nãy mình ghi lộn dấu ( đã sửa ) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 07-08-2016 - 18:30

[Lin Kon]

nếu la tìm Min thì dùng trực tiếp am-gm cho dễ:

do $x+y+z=1$ nên :

$A=\frac{(x+x+y+z)(x+y+z+y)(x+y+z+z)}{xyz}\geq \frac{64\sqrt[4]{x^2yz.y^2xz.z^2xy}}{xyz}=64$