Chủ đề này có 2 trả lời

[Nhok Tung]

Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của 1 tứ giác, chứng minh rằng :

$\sqrt[3]{\frac{abc+abd+bcd+acd}{4}}\leq \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}$

[Nguyenhuyen_AG]

Bất đẳng thức Maclaurin's.

[Dark Repulsor]

Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của 1 tứ giác, chứng minh rằng :

$\sqrt[3]{\frac{abc+abd+bcd+acd}{4}}\leq \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}$

đpcm $\Leftrightarrow (\sum abc)^2\leq \frac{2(\sum ab)^3}{27}$

Ko giảm tính tổng quát, gsử $a\geq b\geq c\geq d\Rightarrow ac\geq bd$ và $bc+da\geq ab+cd$

Theo $Cauchy-Schwarz$: $(\sum abc)^2\leq (\sum_{cyc}ab)(\sum_{cyc}abc^2)=(\sum_{cyc}ab)[ac(bc+da)+bd(ab+cd)]$ ($1$)

Theo $Chebyshev$: $ac(bc+da)+bd(ad+cd)\leq \frac{(ac+bd)(\sum_{cyc}ab)}{2}$ ($2$)

Từ ($1$) và ($2$) $\Rightarrow (\sum abc)^2\leq \frac{(ac+bd)(\sum_{cyc}ab)^2}{2}=\frac{1}{4}.2(ac+bd)(\sum_{cyc}ab)(\sum_{cyc}ab)\leq \frac{1}{4}[\frac{2(ac+bd)+2\sum_{cyc}ab}{3}]^3=\frac{2(\sum ab)^3}{27}$ (theo $AM-GM$)

$\Rightarrow$ đpcm. Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d$

P/s: Điều kiện đề bài cho hơi thừa ($a,b,c,d>0$ là đủ rồi) 

       C/m lại bđt $Maclaurin$ tổng quát chắc thốn lắm