Chủ đề này có 4 trả lời

[SongLongPDT]

Cho: $a,b,c> 0$ thỏa mãn: $a^3+b^3+c^3=1$. Tìm:

Max: $S= a^2+b^2+c^2$

Min:  $P=a^4+b^4+c^4$

[thinhnarutop]

Ta có: $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3}\Leftrightarrow a+b+c\leq \sqrt[3]{9}$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=(a\sqrt{a}.a+b\sqrt{b}.b+c\sqrt{c}.c)^{2}\leq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\leq a+b+c\leq \sqrt[3]{9}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \sqrt[3]{3}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 12-08-2016 - 22:11

[SongLongPDT]

Ta có: $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3}\Leftrightarrow a+b+c\leq \sqrt[3]{9}$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=(a\sqrt{a}.a+b\sqrt{b}.b+c\sqrt{c}.c)^{2}\leq (a^{3}+b^{3}+c^{3})(a+b+c)\leq a+b+c\leq \sqrt[3]{9}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \sqrt[3]{3}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Còn tìm min nữa bạn... Giúp mình luôn đi...

[thinhnarutop]

Còn tìm min nữa bạn... Giúp mình luôn đi...

Ta có: $a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{3})^{\frac{4}{3}}+(b^{3})^{\frac{4}{3}}+(c^{3})^{\frac{4}{3}}\geq 3.(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3})^{\frac{4}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Dấu = xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

P/s: đây là ý kiến của mình nên mình cũng không chắc lắm     

[tritanngo99]

Cho: $a,b,c> 0$ thỏa mãn: $a^3+b^3+c^3=1$. Tìm:

Max: $S= a^2+b^2+c^2$

Min:  $P=a^4+b^4+c^4$

Tìm Min:

Cách 1:Ta có: $(a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+c^4)\ge (a^3+b^3+c^3)^2\implies a^4+b^4+c^4\ge \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Cách 2: Áp dụng BDT Holder ta có:

$(a^4+b^4+c^4)(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)\ge (a^3+b^3+c^3)^3\implies (a^4+b^4+c^4)^2\ge \frac{1}{\sqrt[3]{9}}\implies Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-08-2016 - 08:44