Chủ đề này có 1 trả lời

[mathslover]

Cho phương trình $x^{n}=x+1$. Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương thì tồn tại duy nhất $x_n$ là nghiệm của phương trình trên. Tìm $ lim (n(x_n -1))$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathslover: 17-08-2016 - 19:58

[Dark Repulsor]

Cho phương trình $x^{n}=x+1$. Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương thì tồn tại duy nhất $x_n$ là nghiệm của phương trình trên. Tìm $ lim (n(x_n -1))$

Xét hàm số: $f_{n}(x)=x^n-x-1$ $(n\in\mathbb{N^{*}})$ $\Rightarrow f_{n}(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

$f_{n}^{'}(x)=nx^{n-1}-1>0$ $\forall x>1,n\in\mathbb{N^{*}}$ $\Rightarrow f_{n}(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty)$

Ta có: $f_{n}(1)=-1<0$  ;  $f_{n}(2)=2^n-1>0$ (vì $n\in\mathbb{N^{*}}$)

Do đó: pt $f_{n}(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x_{n}\in(1;+\infty)$

Ta có: $1<x_{n}=\sqrt[n]{x_{n}+1}=\sqrt[n]{1.1...1(x_{n}+1)}<\frac{x_{n}+n}{n}=1+\frac{x_{n}}{n}$

Theo nguyên lý kẹp $\Rightarrow \lim_{n\to +\infty}x_{n}=1$

Từ $x_{n}^n=x_{n}+1\Rightarrow n.ln x_{n}=ln(x_{n}+1)\Rightarrow n=\frac{ln(x_{n}+1)}{ln x_{n}}$

$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty}n(x_{n}-1)=\lim_{n\to +\infty}\frac{x_{n}-1}{ln x_{n}}.ln(x_{n}+1)=ln2$