Chủ đề này có 1 trả lời

[Death Note]

Tìm các số nguyên tố sao cho : $x^2-6y^2=1$

[Hai2003]

$x^2=6y^2+1$

Vì $x^2$ chia 6 dư 1 nên $x$ chia 6 dư 1 hoặc chia 6 dư 5

 

TH1: $x$ chia 6 dư 1

Đặt $x=6k+1\ (k\in \mathbb{Z}, k\geq 1)$. PT trở thành $(6k+1)^2-6y^2=1\Leftrightarrow y^2=6k^2+2k$

Ta thấy $y^2$ chẵn nên $y$ cũng chẵn, mà y là số nguyên tố nên $y=2\implies 6k^2+2k=4\implies k=-1\ \text{hay}\ k=\frac{2}{3}$ (loại)

 

TH2: $x$ chia 6 dư 5

Đặt $x=6k+5\ (k\in \mathbb{Z}, k\geq 0)$. PT trở thành $(6k+5)^2-6y^2=1\Leftrightarrow y^2=6k^2+10k+4$

Tương tự $y=2$. Suy ra $6k^2+10k+4=4\implies k=0$ (thỏa)

Với $k=0$ thì $x=5$ (thỏa)

 

Vậy PT có nghiệm nguyên tố $\color{red}{(x;y)=(5;2)}$