Chứng minh nếu $(a^2+ab+b^2)\vdots 10$ thì $(a^3-b^3)\vdots 1000$ $(a,b)\epsilon Z$
$(a^2+ab+b^2)\vdots 10$ thì $(a^3-b^3)\vdots 1000$ $(a,b)\epsilon Z$
Bắt đầu bởi
Minh Hieu Hoang
, 14-09-2016 - 17:48
#1
Đã gửi 14-09-2016 - 17:48
Minh Hieu Hoang
-
- Banned
-
- 307 Bài viết
Sĩ quan
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 14-09-2016 - 18:45
dat9adst20152016
-
- Thành viên
-
- 174 Bài viết
Trung sĩ
Chứng minh nếu $(a^2+ab+b^2)\vdots 10$ thì $(a^3-b^3)\vdots 1000$ $(a,b)\epsilon Z$
Từ giả thiết ta dễ suy ra được a và b cùng chẵn$\Rightarrow a^{3}-b^{3}\vdots 8$ (1)
Có $a^{2}+ab+b^{2}\vdots 5\Rightarrow (a+b)^{2}-ab\vdots 5$ (*)
Vì (a+b)2 là scp nên (a+b)2 chia 5 dư 0;1;4
+Nếu (a+b)2$\vdots 5$ thì từ (*) suy ra ab$\vdots 5$$\Rightarrow$ 1 trong 2 số a;b $\vdots 5$
Mà (a+b)2$\vdots 5$$\Rightarrow$ cả a và b $\vdots 5$$\Rightarrow$ $a^{3}-b^{3}\vdots 125$
+Nếu (a+b)2 chia 5 dư 1 thì từ (*)$\Rightarrow$ab chia 5 dư 1
Có a2+ab+b2$\vdots 5$; ab chia 5 dư 1$\Rightarrow$a2+b2 chia 5 dư 4$\Rightarrow$ Trong 2 số a2 và b2 có 1 số chia hết cho 5 và 1 số chia 5 dư 4
Không mất tính tổng quát gsử a2$\vdots 5$$\Rightarrow$a$\vdots 5$ (vô lí vì ab chia 5 dư 1)
+Nếu (a+b)2 chia 5 dư 4 thì từ (*)$\Rightarrow$ab chia 5 dư 4
Có a2+ab+b2$\vdots 5$; ab chia 5 dư 4 $\Rightarrow$a2+b2 chia 5 dư 1$\Rightarrow$ Trong 2 số a2 và b2 có 1 số chia hết cho 5 và 1 số chia 5 dư 1
Không mất tính tổng quát gsử a2$\vdots 5$$\Rightarrow$a$\vdots 5$ (vô lí vì ab chia 5 dư 4)
Kết hợp 3 trường hợp lại ta có a3-b3$\vdots 125$ (2)
Từ (1) và (2)$\Rightarrow a^{3}-b^{3}\vdots 1000$ (Q.E.D)
- Minh Hieu Hoang yêu thích
Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta.
-G. Polya-
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
