Chủ đề này có 2 trả lời

[ILoveMath4864]

cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1$ . chứng minh $S=\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{1}{2}$

[loolo]

Bổ đề : $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\sum \frac{a^{3}}{b+c}+\sum \frac{a(b+c)}{4}\geq a^{2}$

$\Leftrightarrow S\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

[L Lawliet]

cho a,b,c >0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 1$ . chứng minh $S=\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{1}{2}$

Lời giải.

Để ý rằng $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ (chứng minh bằng biến đổi tương đương), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\dfrac{a^{3}}{b+c}+\dfrac{b^{3}}{c+a}+\dfrac{c^{3}}{a+b}=\dfrac{a^{4}}{ab+ca}+\dfrac{b^{4}}{bc+ab}+\dfrac{c^{4}}{ca+bc}\geq \dfrac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )}\geq \dfrac{1}{2}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.