Chủ đề này có 4 trả lời

[TNTFlashNo1]

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho$x^{2007}+y^{2007}=7^{z}$

[Zeref]

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho$x^{2007}+y^{2007}=7^{z}$

Tuy chưa làm được nhưng mình xin đóng góp ý tưởng

Từ bổ đề: "Lập phương của một số nguyên luôn có số dư là 0,1,6 khi chia cho 7"

Từ đó mở rộng lên $x^{2017}$ chia 7 có số dư 0,1,6

Cho nên nghiệm (x;y) của pt phải thoả mãn một trong các TH sau

TH1: x và y cùng chia hết cho 7

TH2: $x \equiv 1$ mod $7$ và $y \equiv 6$ mod $7$   

TH3: $x \equiv 6$ mod $7$ và $y \equiv 1$ mod $7$   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 18-09-2016 - 20:41

[Hai2003]

Giả sử PT có nghiệm $(X;Y;Z)$ sao cho $X$ nhỏ nhất.

Để ý $X^{2007}+X^{2007}$ sẽ có nhân tử $(X+Y)(X^2-XY+Y^2)$. Mà các nhân tử đều lớn hơn 1 nên $X+Y\ \vdots\ 7,\ X^2-XY+Y^2\ \vdots\ 7$

Suy ra $X\ \vdots\ 7,\ Y\ \vdots\ 7\implies X=7m,\ Y=7n\ (m,n\in \mathbb{N}^*)$

 

PT giờ là $(7m)^{2007}+(7n)^{2007}=7^Z\implies m^{2007}+n^{2007}=7^{Z-2007}\ (Z>2007)$

Đến đây thì $(m; n; Z-2007)$ cũng là nghiệm của PT và $m<X$ (mâu thuẫn) nên PT vô nghiệm.

 

P/s

Cái lùi vô hạn này em mới biết, có gì sai mọi người chỉ giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hai2003: 18-09-2016 - 21:45

[Zeref]

Giả sử PT có nghiệm $(X;Y;Z)$ sao cho $X$ nhỏ nhất.

Để ý $X^{2007}+X^{2007}$ sẽ có nhân tử $(X+Y)(X^2-XY+Y^2)$. Mà các nhân tử đều lớn hơn 1 nên $X+Y\ \vdots\ 7,\ X^2-XY+Y^2\ \vdots\ 7$

Suy ra $X\ \vdots\ 7,\ Y\ \vdots\ 7\implies X=7m,\ Y=7n\ (m,n\in \mathbb{N}^*)$

 

PT giờ là $(7m)^{2007}+(7n)^{2007}=7^Z\implies m^{2007}+n^{2007}=7^{Z-2007}\ (Z>2007)$

Đến đây thì $(m; n; Z-2007)$ cũng là nghiệm của PT và $m<X$ (mâu thuẫn) nên PT vô nghiệm.

 

P/s

Cái lùi vô hạn này em mới biết, có gì sai mọi người chỉ giúp.

Mình có hơi thắc mắc ở chỗ màu đỏ ?

[Hai2003]

Mình có hơi thắc mắc ở chỗ màu đỏ ?

Có hằng đẳng thức $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2...-ab^{n-2}+b^{n-1})$ với $n$ là số tự nhiên lẻ

Trọng trường hợp này là $\left(X^3\right)^{669}+\left(Y^3\right)^{669}=(X^3+Y^3)(...)=(X+Y)(X^2-XY+Y^2)(...)$