Chủ đề này có 1 trả lời

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Bài toán:

   **Cho $a,b>0$ thỏa mãn $(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b})\geq 9.$

Tìm min: 

             $M=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}$

[leminhnghiatt]

 

Bài toán:

   **Cho $a,b>0$ thỏa mãn $(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b})\geq 9.$

Tìm min: 

             $M=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}$

 

 

 

$(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b}) \geq 9$

 

$\iff 2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{ab} \geq 5$

 

$\rightarrow \dfrac{a+b}{2} +2\sqrt{2(a+b)} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{ab} \geq 5$

 

$\rightarrow (\sqrt{a+b}-\sqrt{2})(\sqrt{a+b}+5\sqrt{2}) \geq 0 \rightarrow a+b \geq 2$

 

Ta có: $M=\sum \dfrac{a^3}{a^2+2b^2}=\sum [a-\dfrac{2ab^2}{a^2+b^2+b^2}] \geq \sum [a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}]$

 

$=\sum [a-\dfrac{2\sqrt[3]{ab^2}}{3}] \geq \sum [a-\dfrac{2}{9}(a+b+b)] =\dfrac{1}{3}(a+b) \geq \dfrac{2}{3}$

 

Vậy $Min=\dfrac{2}{3} \iff a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 22-09-2016 - 20:09