Cho a,b nguyên dương, $(a,b)=1$ thoả mãn $a^{n}+b^{n} \mid a^{m}+b^{m}$. CMR:
$n\mid m$
P/s:bài này mình post rồi nhưng vẫn chưa có lời giải!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SKT T1 SPAK: 22-09-2016 - 22:07
Cho a,b nguyên dương, $(a,b)=1$ thoả mãn $a^{n}+b^{n} \mid a^{m}+b^{m}$. CMR:
$n\mid m$
P/s:bài này mình post rồi nhưng vẫn chưa có lời giải!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SKT T1 SPAK: 22-09-2016 - 22:07
giả thiết \Rightarrow m>n ,giả sử a>b
đặt m=kn+r(k>0,0\leq r<n).
nếu k lẻ:
Ta có an+bn | akn+bkn.
do(a,b)=1 \Rightarrow (a,an+bn)=1 \Rightarrow an+bn | ar(akn+bkn) kết hợp với giả thiết \Rightarrow an+bn | (ar-br)bkn
lại có (bkn,an+bn)=1 \Rightarrow an+bn | ar-br
\Rightarrow r=0\Rightarrow n | m .
nếu k chẵn :
khi đó an+bn | a(k-1)n+b(k-1)n và (an+r,an+bn)=1 \Rightarrow an+bn | an+r(a(k-1)n+b(k-1)n) kết hợp với giả thiết
\Rightarrow an+bn | (an+r-bn+r)b(k-1)n \Rightarrow an+bn | an+r-bn+r =(an+bn)(ar-br)+(ab)r(an-r-bn-r) lại có ((ab)r,an+bn)=1
\Rightarrow an+bn | an-r-bn-r \Rightarrow n=r hay n | m
Vậy n|m
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh