Chủ đề này có 4 trả lời

[plskillme]

Với a,b,c>0, a+b+c=2. CMR : 

$\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\leq \frac{6}{7}$

[NTA1907]

Với a,b,c>0, a+b+c=2. CMR : 

$\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\leq \frac{6}{7}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\sum \frac{a^{2}}{2a+1}\geq \frac{4}{7}$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{2a+1}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)+3}=\frac{4}{7}$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$

[thinhnarutop]

Ta có: $\frac{a}{2a+1}\leq \frac{9}{49}a+\frac{8}{49}$

TT: $\frac{b}{2b+1}\leq \frac{9}{49}b+\frac{8}{49}$

       $\frac{c}{2c+1}\leq \frac{9}{49}c+\frac{8}{49}$

Vậy $\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\leq \frac{9}{49}(a+b+c)+3.\frac{8}{49}= \frac{6}{7}$

Đấu = xảy ra <=> $a=b=c=\frac{2}{3}$

[huykinhcan99]

Với a,b,c>0, a+b+c=2. CMR : 

$\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\leq \frac{6}{7}$

 

 

Ta có:

\begin{align} 3 -2\left(\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\right)&=\left(1-\frac{2a}{2a+1}\right)+\left(1-\frac{2b}{2b+1}\right)+\left(1-\frac{2c}{2c+1}\right) \nonumber \\ \label{eq:1} &=\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1} \end{align}

 

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có

\begin{align*} 9=\left(\sqrt{2a+1}.\frac{1}{\sqrt{2a+1}}+\sqrt{2b+1}.\frac{1}{\sqrt{2b+1}}+\sqrt{2c+1}.\frac{1}{\sqrt{2c+1}}\right)^2\leqslant \\ \hspace{4cm} \leqslant \left[2\left(a+b+c\right)+3\right]\left(\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\right) \end{align*}

hay là

\begin{equation} \label{eq:2}\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1} \geqslant \frac{9}{7} \end{equation} 

 

Từ \eqref{eq:1} và \eqref{eq:2} ta có 

\[3 -2\left(\frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\right) \geqslant \frac{9}{7} \iff \frac{a}{2a+1}+\frac{b}{2b+1}+\frac{c}{2c+1}\leqslant \frac{6}{7}  \]

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 28-09-2016 - 22:06

[loolo]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\sum \frac{1}{2a+1}\geq \frac{9}{7}$

Thật vậy: $\sum \frac{1}{2a+1}\geq \frac{9}{2(a+b+c)+3}=\frac{9}{7}$