Chủ đề này có 5 trả lời

[PlanBbyFESN]

Bài toán 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Cm:

 

\[\sqrt{\frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{a+1}}+\sqrt{\frac{{{\left( b+c \right)}^{3}}}{b+2}}+\sqrt{\frac{{{\left( c+a \right)}^{3}}}{c+3}}\ge 12\]

 

 

Bài toán 2: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thảo mãn $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$.

        

            Hãy chứng minh: $a^{7}+b^{7}+c^{7}+abc\geqslant 4$

 

Bài toán 3: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

             $\sqrt{a^{2}b+b^{2}c}+\sqrt{b^{2}c+c^{2}a}+\sqrt{c^{2}a+a^{2}b}\leqslant 3\sqrt{2}$

 

Bài toán 4 :Chứng minh rằng với mọi thực dương $a,b,c$ ta luôn có:

 

          $\frac{3(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c}{c^{2}+a^{2}}$

 

Lục lại mấy bài cũ đăng   

 

[CaptainCuong]

$\sqrt{a^2b+b^2c}\leq \sqrt{\frac{a+a+b}{3}+\frac{b+b+c}{3}}=\sqrt{\frac{3b+2a+c}{3}}$

Đặt $\frac{3b+2a+c}{3}=x; \frac{3c+2b+a}{3}=y;\frac{3a+2c+b}{3}=z\rightarrow x+y+z=6$

$\Rightarrow \sum \sqrt{x}\leq \sqrt{3\sum x}=3\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 09-10-2016 - 20:09

[vpvn]

Câu 3 $\sum \sqrt{a^{2}b+b^{2}c}$ =$\sum \sqrt{b(a^{2}+bc)}$$\leq \sqrt{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)}$

            $\leq \sqrt{3(3^{2}-ab-bc-ca)}$ $\leq \sqrt{3(3^{2}-\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}$=3$\sqrt{2}$

[vpvn]

câu 1 

dùng cauchy-schwarz + chú ý dấu bằng khi a=3 b=1 c=2

[CaptainCuong]

Bài toán 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Cm:

 

\[\sqrt{\frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{a+1}}+\sqrt{\frac{{{\left( b+c \right)}^{3}}}{b+2}}+\sqrt{\frac{{{\left( c+a \right)}^{3}}}{c+3}}\ge 12\]

$VT= \frac{(a+b)^2}{\sqrt{(a+1)(a+b)}}+\frac{(b+c)^2}{\sqrt{(b+2)(b+c)}}+\frac{(c+a)^2}{\sqrt{(c+3)(a+c)}}\geq \frac{144}{\sqrt{(a+1)(a+b)}+\sqrt{(b+2)(b+c)}+\sqrt{(c+3)(a+c)}}$

Có $\sqrt{(a+1)(a+b)}+\sqrt{(b+2)(b+c)}+\sqrt{(c+3)(a+c)}\leq\frac{a+1+a+b}{2}+\frac{b+2+b+c}{2}+\frac{c+3+a+c}{2}=12$

$\Rightarrow VT\geq \frac{144}{12}=12$

[loolo]

Câu 3 $\sum \sqrt{a^{2}b+b^{2}c}$ =$\sum \sqrt{b(a^{2}+bc)}$$\leq \sqrt{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)}$
            $\leq \sqrt{3(3^{2}-ab-bc-ca)}$ $\leq \sqrt{3(3^{2}-\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}$=3$\sqrt{2}$

Đoạn cuối ngược dấu.
$-(ab+bc+ac)\geq -\frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loolo: 16-10-2016 - 12:46