Chủ đề này có 1 trả lời

[trungdung19122002]

Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện: $x+y+z=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F=\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+ \frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$

[QWEFJAS]

Xét a-b+b-c+c-a=0

 $\Rightarrow \sum \frac{a^4-b^4}{a^3+b^3+a^2b+ab^2}=0$ 

$\Rightarrow \sum \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a+b)}=\sum \frac{b^4}{(b^2+a^2)(a+b)}$

 $\Rightarrow 2F=\sum \frac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}$

 Ta cần c/m:$\frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}\geq \frac{a+b}{4}$

$\Leftrightarrow 4(a^4+b^4)\geq (a+b)^2(a^2+b^2)$

Áp dụng BCS:$(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$

$(a^2+b^2)^2\leq 2(a^4+b^4)$

Nhân từng vế các BĐT cùng chiều dương:$\Rightarrow 4(a^4+b^4)\geq (a^2+b^2)(a+b)$

Suy ra BĐT cần chứng minh đúng

 CMTT$\Rightarrow \sum \frac{a^4+b^4}{(a^2+b^2)(a+b)}\geq 2\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{2}$

 $\Rightarrow F\geq \frac{1}{4}$

Dấu = xảy ra khia=b=c=1/3

 Mình gõ nhầm x,y,z thành a,b,c.Đến cuối mới phát hiện ra. Ngại sửa nên bạn tự sủa lại nha