Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Xác định các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x)+y)=f(x^{2}-y)+4y.f(x), \forall x, y\in \mathbb{R}.$

[HoaiBao]

Xác định các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x)+y)=f(x^{2}-y)+4y.f(x), \forall x, y\in \mathbb{R}.$

Đặt phép thế $P(x;y):f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4y.f(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Ta thực hiện: $P(x;\frac{x^2-f(x)}{2}):f(x)[f(x)-x^2]=0, \forall x \in \mathbb{R}$ (2)

Dễ thấy hai hàm số $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(x)=x^2, \forall x \in \mathbb{R}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó cần phải chứng minh ngoài hai hàm trên không tồn tại hàm số nào khác thỏa mãn yêu cầu trên.

Thật vậy giả sử tồn tại $a,b \neq 0$ thỏa $f(a)\neq 0$ và $f(b) \neq b^2$ (3)

Do vậy theo (2) ta được: $f(a)=a^2$ và $f(b)=0$

Ta lại thay $x=0$ vào (2) nên: $f(0)=0$. Thực hiện $P(0;x): f(x)=f(-x), \forall x\in \mathbb{R}$

Ta xét hai trường hợp:

   Trường hợp I: $a>0$

Thực hiện: $P(b;-a): f(b^2+a)=f(-a)=f(a)=a^2$. Do $a\neq 0$ và (2) ta được $a^2=f(b^2+a)=(b^2+a)^2$.

Mà $0<a<b^2+a$ nên $a^2<(b^2+a)^2$ , mâu thuẫn.

   Trường hợp II: $a<0$

Thực hiện: $P(b;a): f(b^2-a)=f(a)=a^2$. Do $a\neq 0$ và (2) ta được$(b^2-a)^2=(-a)^2$

Mà $0<-a<b^2-a$ nên $(-a)^2<(b^2-a)^2$, mâu thuẫn.

 

Vậy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(x)=x^2, \forall x \in \mathbb{R}$.