$Cho \ a, b, c > 0;a^{2}+b^{2}+b^{2}=3. CMR: \\ \sum \frac{a^{3}}{b}+abc\geq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 05-11-2016 - 05:38
$Cho \ a, b, c > 0;a^{2}+b^{2}+b^{2}=3. CMR: \\ \sum \frac{a^{3}}{b}+abc\geq 4$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 05-11-2016 - 05:38
ta có : $\sum \frac{a^{3}}{b}=\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}$
và theo bđt schur có : $abc\geq \frac{(a+b+c)(2\sum ab -\sum a^{2})}{9}=\frac{(a+b+c)(2\sum ab - 3)}{9}$
vậy ta cần chứng minh: $\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}\geq 4+\frac{a+b+c}{3}$
đặt x=a+b+c và y= ab+bc+ca . ta được : $\frac{9}{y} + \frac{2xy}{9}\geq 4+\frac{x}{3}$
mà $\frac{9}{y}\geq 18 - y$
nên thay vào và quy đồng ta cần c/m : $18+2xy\geq 9y+3x$
mà $y= \frac{x^{2}-3}{2}$
suy ra : $2x^{3}-9x^{2}-12x+63\geq 0 \Leftrightarrow (x-3)(x-\frac{3+\sqrt{177}}{4})(x+\frac{\sqrt{177}-3}{4})\geq 0$
đúng vì ta có $x=a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$. !!!!
ta có : $\sum \frac{a^{3}}{b}=\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}$
và theo bđt schur có : $abc\geq \frac{(a+b+c)(2\sum ab -\sum a^{2})}{9}=\frac{(a+b+c)(2\sum ab - 3)}{9}$
vậy ta cần chứng minh: $\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}\geq 4+\frac{a+b+c}{3}$
đặt x=a+b+c và y= ab+bc+ca . ta được : $\frac{9}{y} + \frac{2xy}{9}\geq 4+\frac{x}{3}$
mà $\frac{9}{y}\geq 18 - y$
nên thay vào và quy đồng ta cần c/m : $18+2xy\geq 9y+3x$
mà $y= \frac{x^{2}-3}{2}$
suy ra : $2x^{3}-9x^{2}-12x+63\geq 0 \Leftrightarrow (x-3)(x-\frac{3+\sqrt{177}}{4})(x+\frac{\sqrt{177}-3}{4})\geq 0$
đúng vì ta có $x=a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$. !!!!
Cách hay để mình đăng cách của mình
cach nay do ec
Thế còn cách của bạn thì sao? =))
Lần sau biết thì vào đăng đáp án đừng phán nữa dễ làm nhiễu diễn đàn đó bạn
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh