Chủ đề này có 1 trả lời

[leanh9adst]

• Bài 1: Trong mặt phẳng cho n điểm và khoảng cách giữa 2 điểm bất kì không quá 1. Chứng minh rằng có thể phủ n điểm đó bởi 1 hình tròn có bán kính bằng $\frac{1}{\sqrt{3}}$
• Bài 2: Trong mặt phẳng cho 6 điểm, với mỗi 2 diểm trong chúng nối lại thành 1 đoạn thẳng. Chứng minh rằng : Tỉ số giữa đoạn dài nhất và đoạn ngắn nhất  $\geq \sqrt{3}$

[JUV]

Câu 1 chỉ cần chứng minh tam giác có $3$ cạnh độ dài $<1$ thì bán kính đường tròn ngoại tiếp $< \frac{1}{\sqrt{3}}$. Vẽ các đường tròn bán kính $=\frac{1}{\sqrt{3}}$ tâm là các điểm đang xét thì theo Helly, các đường tròn đó có $1$ điểm chung $A$ nên $(A; \frac{1}{\sqrt{3}})$ là đường tròn cần tìm. Còn câu 2 thì gọi độ dài lớn nhất là $a$ thì tồn tại $1$ đường tròn $(A;\frac{1}{\sqrt{3}})$ chứa tất cả các điểm đó. Dễ CM có $2$ điểm $B,C$ để $\widehat{BAC}\leq 60^\circ$ nên $BC\leq \frac{a}{\sqrt{3}}$$\Rightarrow Q.E.D$