giúp tks
Cho $0\leq x,y,z\leq 1$.CMR $1+x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$
Bắt đầu bởi 123mothaiba, 11-11-2016 - 19:33
#1
Đã gửi 11-11-2016 - 19:33
#2
Đã gửi 12-11-2016 - 11:19
Do $x,y\in [0;1]$ nên $x(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^2y\geqslant x^2+xy-x$ (1)
Tương tự: $y^2z\geqslant y^2+yz-y$ (2) ; $z^2x\geqslant z^2+zx-z$ (3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế: $x^2y+y^2z+z^2x\geq x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-x-y-z$ (*)
Cần chứng minh: $1\geqslant x+y+z-xy-yz-zx$ (**)
Thật vậy: $(1-x)(1-y)(1-z)\geqslant 0$ (do $x,y,z\in [0;1]$)
$\Leftrightarrow 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\geqslant 0\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx\leqslant 1-xyz\leqslant 1$ (do $x,y,z\geqslant 0$)
Cộng (*) với (**) vế theo vế ta sẽ có ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Antoneus: 12-11-2016 - 11:25
- yeutoan2001 và plskillme thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh