Chủ đề này có 3 trả lời

[IHateMath]

Trong một cuộc thi, các thí sinh được đề nghị giải quyết $6$ bài toán. Kết thúc cuộc thi, người ta nhận thấy rằng

$i$. Mỗi bài toán được giải quyết bởi đúng $100$ học sinh

$ii$. Với mỗi cặp hai thí sinh, có nhiều nhất là $5$ bài toán được giải quyết bởi cả hai

Tìm số ít nhất thí sinh tham dự kỳ thi này.

Đồng Nai 2015 version IMO 2001

[takarin1512]

Trong một cuộc thi, các thí sinh được đề nghị giải quyết $6$ bài toán. Kết thúc cuộc thi, người ta nhận thấy rằng

$i$. Mỗi bài toán được giải quyết bởi đúng $100$ học sinh

$ii$. Với mỗi cặp hai thí sinh, có nhiều nhất là $5$ bài toán được giải quyết bởi cả hai

Tìm số ít nhất thí sinh tham dự kỳ thi này.

Đồng Nai 2015 version IMO 2001

Gọi số học sinh tham gia là $n$. Ta xét bảng có $6$ cột tương ứng với $6$ bài toán và $n$ hàng tương ứng với $n$ học sinh, nếu học sinh $i\left ( i=\overline{1,n} \right )$ không làm được bài toán $j\left ( j=\overline{1,6} \right )$ thì ta đánh dấu $x$ vào ô vuông tạo bởi hàng $i$ và cột $j$.

Vì hai học sinh bất kỳ không giải quyết được quá $5$ bài toán chung nên sẽ không có quá một sinh giải quyết được cả $6$ bài toán. Do đó sô dấu $x$ không nhỏ hơn $n-1$.

Mặt khác, vì mỗi bài toán được giả quyết bới $100$ học sinh nên sô dấu $x$ sẽ là $6\left ( n-100 \right )$

Ta có $6\left ( n-100 \right )\geq n-1\Rightarrow n\geq 120$.

Ta chỉ ra trường hợp $n=120$ thỏa mãn bằng cách cho mỗi bạn giải quyết được đúng $5$ bài. Vậy sô học sinh ít nhất tham gia kỳ thi là $120$ bạn.

p/s: sr, bài hôm qua mình làm bị nhầm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 13-11-2016 - 08:29

[IHateMath]

Gọi số học sinh là $n$. Ta xét bảng có $6$ cột tương ứng với $6$ bài toán và $n$ hàng tương ứng với $n$ học sinh, nếu một học sinh làm được bài toán nào đó thì ta đánh dấu vào ô vuông tạo bởi cột của bài toán và hàng của học sinh đó. Vì mỗi bài toán được giải quyết với 100 học sinh nên số cặp ô được đánh dấu theo chiều dọc sẽ là $6C_{100}^2$
Xét hai hàng bất kỳ, theo đề bài thì số cặp được đánh dấu ở hai hàng này không vượt quá $5$, suy ra số cặp ô được đánh dấu không vượt quá $5C_n^2$
Từ đó ta có $6C_{100}^2\leq 5C_n^2\Rightarrow n\geq 110$. Vậy số học sinh ít nhất là $110$ học sinh.
p/s: không biết có cần chỉ cách sắp xếp để trường hợp $110$ thỏa mãn không.

Có chứ bạn.

[JUV]

Nếu có $1$ thí sinh giải được $4$ bài (giả sử là $1,2,3,4$) thì không ai giải được cả $2$ bài $5$ và $6$. Mà trong mỗi bài $5$ và $6$ đều có $100$ người giải được nên số thí sinh ít nhất là $100+100+1=201$. Nếu mỗi người giải được không quá $3$ bài, vì có $600$ bài làm nên sẽ có ít nhất $\frac{600}{3}=200$ thí sinh. Vậy cần ít nhất $200$ thí sinh, có thể chia bài làm cho mỗi thí sinh như sau: Chia $200$ người làm $4$ nhóm $50$ người: 

Nhóm $1$ làm các bài $1,2,3$

Nhóm $2$ làm các bài $1,4,5$

Nhóm $3$ làm các bài $2,5,6$

Nhóm $4$ làm các bài $3,4,6$

($50$ người trong cùng $1$ nhóm làm $3$ bài giống nhau và giống như cách sắp xếp trên)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 13-11-2016 - 14:52