Chủ đề này có 5 trả lời

[thinhtrantoan]

Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}\leq 2$

P/s: Mk dốt bất đẳng thức lắm nên hỏi ngu bài này, có j mọi người đừng cười

[yeutoan2001]

Có:  $(a-1)(b-1)\geq 0 <=> ab+1\geq a+b$  Đồng thời dùng luôn bất đẳng thức này vào các số hạng 

$\frac{a}{b+c}\leq \frac{2a}{a+b+c}$

$\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 1 và một số bằng 0

[plskillme]

Nên chia ra làm 2 trường hợp là có một số bằng 0 và không có số nào bằng 0 thì chắc hơn !

[thinhtrantoan]

Có:  $(a-1)(b-1)\geq 0 <=> ab+1\geq a+b$  Đồng thời dùng luôn bất đẳng thức này vào các số hạng 

$\frac{a}{b+c}\leq \frac{2a}{a+b+c}$

$\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 1 và một số bằng 0

Có điều kiện a < b+c đâu mà dùng $\frac{a}{b+c}\leq \frac{2a}{a+b+c}$ hả bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhtrantoan: 14-11-2016 - 17:32

[yeutoan2001]

Có điều kiện a < b+c đâu mà dùng $\frac{a}{b+c}\leq \frac{2a}{a+b+c}$ hả bạn?

Sửa lại:  $\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{a}{abc+1}$

Cần C/m: $\frac{a+b+c}{abc+1}\leq 2 <=> abc+abc+2\geq a+b+c$

Có $abc\geq 0$ 

 $abc\geq ab+c-1\geq a+b+c-2$ Suy ra $abc+abc+2\geq 0+a+b+c-2+2=a+b+c$

Suy ra đpcm

[hanguyen445]

Do BĐT đối xứng nên giả sử $a\ge b\ge c\Rightarrow bc\le (bc,ab,ac)$

\[ \Rightarrow P \leqslant \frac{{a + b + c}}{{1 + bc}} \leqslant \frac{{1 + b + c}}{{1 + bc}} \leqslant 2\]

\[ \Leftrightarrow 2\left( {1 + bc} \right) \geqslant 1 + b + c \Leftrightarrow 1 + 2bc \geqslant b + c\]

\[ \Leftrightarrow c\left( {b - 1} \right) + 1 - b + bc \geqslant 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) + bc \geqslant 0\]

Luôn đúng do $a,b,c\in [0;1]$. Vậy BĐT được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 15-11-2016 - 21:35