Tìm bộ $k,m,n$ nguyên dương phân biệt sao cho $\left\{\begin{matrix} 3^k\equiv3^m\equiv3^n(mod10^4)\\ (m+n+k)min\\ m+n>k,k+n>m,m+k>n \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 22-11-2016 - 20:45
#2
Đã gửi 24-11-2016 - 22:14
I Love MC
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1861 Bài viết
Đại úy
Bổ đề : Cho $m \ge 2$ là một số nguyên . Khi đó $m$ có căn nguyên thủy khi và chỉ khi $m$ có một trong $4$ dạng sau $2,4,p^a,2p^a$
Áp dụng bổ đề ta có $3$ là căn nguyên thủy mod $10^4 \Rightarrow o_{10^4}(3)=\phi(10^4)$
Ta lại có định lí sau : Nếu $a,n \ge 1$ là các số nguyên tố cùng nhau thì phương trình đồng dư $a^u \equiv a^v \pmod{n}$ nghiệm đúng khi và chỉ khi $u \equiv v \pmod{o_n(a)}$
Áp dụng định lí vì $3^k \equiv 3^m \pmod{10^4} \Rightarrow k \equiv m \pmod{\phi(10^4)}$ (1)
Tương tự $m \equiv n \pmod{\phi(10^4)},k \equiv n \pmod{\phi(10^4)}$
Giả sử $k \ge m \ge n$ (2) . Từ (1),(2) ta có thể suy ra $k \ge \phi(10^4)+1$ .
Biện luận với việc $m,n<\phi(10^4)$ ta có điều vô lí .
Từ đó ta có ko có $m,n,k$ thỏa mãn
P/s : Giải chưa có suy nghĩ gì đúng đắn (mới thử nêu ý tưởng) nên có gì sai thì thông cảm 
- Element hero Neos yêu thích
#3
Đã gửi 26-11-2016 - 20:22
Element hero Neos
-
- Thành viên
-
- 943 Bài viết
Trung úy
Bổ đề : Cho $m \ge 2$ là một số nguyên . Khi đó $m$ có căn nguyên thủy khi và chỉ khi $m$ có một trong $4$ dạng sau $2,4,p^a,2p^a$
Áp dụng bổ đề ta có $3$ là căn nguyên thủy mod $10^4 \Rightarrow o_{10^4}(3)=\phi(10^4)$
Ta lại có định lí sau : Nếu $a,n \ge 1$ là các số nguyên tố cùng nhau thì phương trình đồng dư $a^u \equiv a^v \pmod{n}$ nghiệm đúng khi và chỉ khi $u \equiv v \pmod{o_n(a)}$
Áp dụng định lí vì $3^k \equiv 3^m \pmod{10^4} \Rightarrow k \equiv m \pmod{\phi(10^4)}$ (1)
Tương tự $m \equiv n \pmod{\phi(10^4)},k \equiv n \pmod{\phi(10^4)}$
Giả sử $k \ge m \ge n$ (2) . Từ (1),(2) ta có thể suy ra $k \ge \phi(10^4)+1$ .
Biện luận với việc $m,n<\phi(10^4)$ ta có điều vô lí .
Từ đó ta có ko có $m,n,k$ thỏa mãn
P/s : Giải chưa có suy nghĩ gì đúng đắn (mới thử nêu ý tưởng) nên có gì sai thì thông cảm
Bài sai rồi, có bộ $(k;m;n)=(501;1001;2001)$ thoả mãn (ngoài ra còn nhiều bộ khác nhưng bộ này nhỏ nhất).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
