Chủ đề này có 1 trả lời

[leanh9adst]

Có 20 cô gái ngồi quanh một bàn tròn và chơi một trò chơi với n quân bài.Ban đầu,một người giữ tất cả các quân bài.Tới lượt mỗi người,nếu có ít nhất một người giữ ít nhất 2 quân bài ,một trong số họ sẽ phải chuyển một quân bài cho mỗi người ngồi bên cạnh cô.Trò chơi kết thúc khi và chỉ khi mỗi cô gái giữ nhiều nhất 1 quân bài.
a) Cm nếu $n\geq 20$ ,trò chơi không thể kết thúc
b) Cm nếu $n< 20$,trò chơi cuối cùng cũng kết thúc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 01-12-2016 - 15:20

[JUV]

a/ Đánh số các ghế từ trái sang phải các số từ $1$ đến $20$. Nếu $n>20$ thì luôn có $1$ người cầm ít nhất $2$ quân bài nên trò chơi không thể kết thúc. Nếu $n=20$, mỗi cô gái sẽ lấy số ghế của mình nhân với số đá mình đang cầm gọi $S$ là tổng tất cả các số của $20$ cô gái. Dễ thấy rằng $S$ không đổi dù các cô gái có chuyển đá thế nào. Giả sử ghế của cô gái cầm tất cả đá lần đầu tiên là $a$, ta có $S=20a \vdots 20$. Nếu sau một số lần chuyển, mỗi cô gái cầm $1$ viên đá thì $S=\sum_{i=1}^{20}i$ không chia hết cho $20$ (vô lí). Vậy trò chơi không thể kết thúc khi $n\geq 20$

b/Xét bộ các cô gái liên tiếp $A_1,A_2,...,A_m$ $(20\geq m)$. Giả sử trò chơi diễn ra vô hạn bước, ta sẽ chứng minh rằng sau một số bước nào đó, trong $m$ cô gái đó luôn luôn có ít nhất $m-1$ hòn đá. $m=1$ hiển nhiên đúng, giả sử mệnh đề đúng với $m=k$.Xét các bộ cô gái liên tiếp $A_1,A_2,...,A_{k+1}$, gọi $t$ là số thoả mãn sau $t$ bước, các cô gái $A_1,A_2,...,A_k$ có ít nhất $k-1$ hòn đá và $A_2,A_3,...,A_{k+1}$ cũng vậy. Vì trò chơi diễn ra vô hạn nên mỗi cô gái sẽ chuyển đá vô hạn lần, vậy sau $t$ bước đầu, sẽ tồn tại $1$ bước nào đó mà tại bước đó, $A_1$ được cô gái bên trái chuyển đá cho, lúc này $k+1$ người có ít nhất $k$ viên. Thấy rằng $A_1,A_2,...,A_{k+1}$ chỉ mất đá khi $A_1$ hoặc $A_{k+1}$ chuyển đá. Nếu $A_1$ chuyển đá, lúc đó cô có ít nhất $2$ viên đá, $k$ người còn lại có ít nhất  $k-1$ viên đá, tổng $k+1$ viên. Sau khi chuyển thì mất $1$ viên, vậy còn ít nhất $k$ viên đá, tương tự khi $A_{k+1}$ chuyển đá. Vậy tồn tại một bước nào đó mà sau bước đó, $k+1$ người luôn có ít nhất $k$ viên đá. Vậy mệnh đề quy nạp đúng. Vậy sau $1$ bước nào đó, $m$ cô gái liên tiếp bất kì sẽ có ít nhất $m-1$ viên đá ($m$ bất kì nhỏ hơn hoặc bằng 20). Xét các cô gái không cầm viên đá nào lúc đó, các cô gái sẽ đứng lên và di chuyển theo chiều kim đồng hồ đến chỗ của cô gái gần nhất cầm ít nhất $2$ viên đá. Không có cô gái nào đi qua ghế của cô gái không cầm đá nào bởi nếu cô gái $A_1$ đi qua ghế của cô gái $A_m$ không cầm đá thì các cô gái $A_2,A_3,...,A_{m-1}$ mỗi người cầm nhiều nhất $1$ viên đá, $A_1$ và $A_m$ không cầm đá nên $m$ người đó có nhiều nhất $m-2$ viên đá (vô lí). Nếu cô gái đi qua tất cả các ghế mà không có cô gái nào cầm $2$ viên đá thì trò chơi kết thúc, nếu mỗi cô gái không cầm đá tìm được $1$ cô gái cầm $2$ viên đá thì không có $2$ cô gái không cầm đá nào gặp cùng $1$ cô cầm $2$ viên do sẽ có $1$ người đi qua ghế của người khác trong $2$ cô. Mỗi cô gái không cầm đá tìm được đúng $1$ cô gái cầm $2$ viên đá nên số đá ít nhất là $20$ (vô lí)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 01-12-2016 - 15:18