Chủ đề này có 3 trả lời

[tiendungthachthat]

Cho abc=(1-a)(1-b)(1-c) và a;b;c $\epsilon (0;1)$

CMR :$\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} \leq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

[phamngochung9a]

Cho abc=(1-a)(1-b)(1-c) và a;b;c $\epsilon (0;1)$

CMR :$\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} \leq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Từ đề bài, ta có: $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )=1$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}-1=\frac{y}{x} & & \\ \frac{1}{b}-1=\frac{z}{y} & & \\ \frac{1}{c}-1=\frac{x}{z} & & \end{matrix}\right.$.

Khi đó: $VT=\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\\=\frac{\sum \sqrt{\left ( xy+xz \right )\left ( z+x \right )}}{\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}}\leq \frac{\sqrt{2\left ( xy+yz+zx \right )}.\sqrt{2\left ( x+y+z \right )}}{\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}}\\=\frac{2\sqrt{\left ( xy+yz+zx \right )\left ( x+y+z \right )}}{\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}}\\$

 

Ta sẽ chứng minh: $\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\geq \frac{8}{9}\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )$. 

Thật vậy, BĐT trên tương đương với: $9\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\geq 8\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )\\\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )\geq 9xyz$  (luôn đúng theo $AM-GM$)

 

Vậy: $VT\leq \frac{2\sqrt{\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )}}{\sqrt{\frac{8}{9}\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

 

Dấu $"="$ xảy ra $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 16-12-2016 - 23:40

[toannguyenebolala]

Từ đề bài, ta có: $\left ( \frac{1}{a}-1 \right )\left ( \frac{1}{b}-1 \right )\left ( \frac{1}{c}-1 \right )=1$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}-1=\frac{y}{x} & & \\ \frac{1}{b}-1=\frac{z}{y} & & \\ \frac{1}{c}-1=\frac{x}{z} & & \end{matrix}\right.$.

Khi đó: $VT=\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\\=\frac{\sum \sqrt{\left ( xy+xz \right )\left ( z+x \right )}}{\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}}\leq \frac{\sqrt{2\left ( xy+yz+zx \right )}.\sqrt{2\left ( x+y+z \right )}}{\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}}\\=\frac{2\sqrt{\left ( xy+yz+zx \right )\left ( x+y+z \right )}}{\sqrt{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}}\\$

 

Ta sẽ chứng minh: $\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\geq \frac{8}{9}\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )$. 

Thật vậy, BĐT trên tương đương với: $9\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )\geq 8\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )\\\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )\geq 9xyz$  (luôn đúng theo $AM-GM$)

 

Vậy: $VT\leq \frac{2\sqrt{\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )}}{\sqrt{\frac{8}{9}\left ( x+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

 

Dấu $"="$ xảy ra $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Chỗ dấu bé hơn hoặc bằng đầu tiên ấy bạn, bạn có thể lí giải kĩ hơn được không?

[phamngochung9a]

Chỗ dấu bé hơn hoặc bằng đầu tiên ấy bạn, bạn có thể lí giải kĩ hơn được không?

Là BĐT Buniakovsky nhé bạn:

$\sum \sqrt{\left ( xy+xz \right )\left ( x+z \right )}\\= \sqrt{\left ( xy+xz \right )\left ( x+z \right )}+\sqrt{\left ( yx+yz \right )\left ( x+y \right )}+\sqrt{\left ( zx+zy \right )\left ( y+z \right )}\\\leq \sqrt{\left ( 2xy+2yz+2zx \right )\left ( 2x+2y+2z \right )}\\=2\sqrt{\left ( xy+yz+zx \right )\left ( x+y+z \right )}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 17-12-2016 - 00:08