Chủ đề này có 2 trả lời

[tretho97]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn đồng thời $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca>0$
Chứng minh rằng: $(ab+\frac{c}{a+b})(bc+\frac{a}{b+c})(ca+\frac{b}{c+a}) \leq \frac{1}{4}$

[Baoriven]

Không mất tổng quát giả sử: $a=max(a,b,c)$.

Khi đó, ta có biến đổi: 

$(ca+\frac{b}{c+a})(ab+\frac{c}{a+b})=(b+c)^2+bc[a^2-1+\frac{bc}{(a+b)(a+c)}].$

Đặt $A=a^2-1+\frac{bc}{(a+b)(a+c)}\leq 0.$

Ta có: 

$\begin{matrix}BDT\Leftrightarrow [(b+c)^2+Abc](bc+\frac{a}{b+c})\leq \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow a(b+c)+Ab^2c^2+bc[\frac{aA}{b+c}+(b+c)^2]\leq \frac{1}{4} \end{matrix}$

Mặt khác: $\frac{1}{4}-a(b+c)\geq 2bc(b+c-a)^2;and;Ab^2c^2\leq 0$

Nên: $bc[\frac{aA}{b+c}+(b+c)^2]\leq 2bc(b+c-a^2)\Leftrightarrow 2(b+c-a)^2\geq \frac{aA}{b+c}+(b+c)^2$.

Đăt: $t=\frac{b+c}{2}\leq \frac{1}{3}$.

Ta có: $\frac{bc}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{t^2}{(a+t)^2}$.

Nên, ta cần chứng minh BĐT mạnh hơn: $2(2t-a)^2\geq \frac{a}{2t}[a^2-1+\frac{t^2}{(a+t)^2}]+4t^2$.

Ta có $a=1-2t$, nên BĐT cần chứng minh ngay ở trên tương đương với:

$2(16t^2-11t+2)\geq \frac{t(1-2t)}{2(1-t)^2}.$

Ta có: $\left\{\begin{matrix}4(1-t)^2\geq 4(1-\frac{1}{3})^2> 1 \\ 16t^2-11t+2-t(1-2t)=2(1-3t)^2\geq 0 \end{matrix}\right.$

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2},c=0$ và các hoán vị. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 25-12-2016 - 10:20

[9nho10mong]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn đồng thời $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca>0$
Chứng minh rằng: $(ab+\frac{c}{a+b})(bc+\frac{a}{b+c})(ca+\frac{b}{c+a}) \leq \frac{1}{4}$

Ta cần chứng minh với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa $ ab+bc+ca \neq 0$ luôn có
$$ \left( \dfrac{ab}{ \left( a+b+c \right)^2} + \dfrac{c}{a+b}\right) \left( \dfrac{bc}{ \left( a+b+c \right)^2} + \dfrac{a}{b+c}\right) \left( \dfrac{ca}{ \left( a+b+c \right)^2} + \dfrac{b}{c+a}\right) \le \dfrac{1}{4} \quad{(*)}$$
Ta có
$$ \dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{ab}{ \left( a+b+c \right)^2} + \dfrac{c}{a+b}\right) \left( \dfrac{bc}{ \left( a+b+c \right)^2} + \dfrac{a}{b+c}\right) \left( \dfrac{ca}{ \left( a+b+c \right)^2} + \dfrac{b}{c+a}\right) = \dfrac{A}{2916 \left(a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right) \left( a+b+c \right)^6}+ \dfrac{127abc}{729 \left(a+b \right) \left( b+c \right) \left( c+a \right)}$$
trong đó
$$ A= \sum ab \left( 4410 b^3 c^2 + 8049 b^2 a^2 c + 5156 b a^3c + 10677 b a^2 c^2 + 4410 c^2 a^3 +5156 b^3ac + 10677 b^2 a c^2 + 1933 c a^4 + 1933 c b^4 + 1302 ba c^3 + 729 b^5 + 7290 a ^2 b^3 + 3645 ab^4+7290 b^2 a^3 + 729 a^5 +3645 a ^4 b \right) \left( a-b \right)^2 \ge 0 $$
Do đó $(*)$ đúng. Đó là điều cần chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 9nho10mong: 01-01-2017 - 20:10