Bài 1: Cho $x,y,z\ge 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+y+z}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$.
Bài 2: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}\ge \frac{4x+4y+4z}{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}$
Lời giải bài 1: Đặt $(x-1;y-1;z-1)=(a;b;c)\to (x;y;z)=(a+1;b+1;c+1)$.
Quy về bài toán: Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2(1)$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}$.
Thật vậy, ta có: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}\iff \sum \sqrt{ab}\le \frac{3}{2}$.
Do $(1)$ nên tồn tại các số $m,n,p\ge 0$ thỏa mãn: $(a;b;c)=(\frac{m}{n+p};\frac{n}{m+p};\frac{p}{n+m})$.
Khi đó: $\sum \sqrt{ab}= \sum \sqrt{\frac{m}{n+p}.\frac{n}{m+p}}=\sum \sqrt{\frac{m}{m+p}.\frac{n}{n+p}}$.
Áp dụng $AM-GM$ ta có: $2\sqrt{\frac{m}{m+n}.\frac{n}{n+p}}\le \frac{m}{m+n}+\frac{n}{n+p}$.
Tương tự rồi cộng lại $\implies Q.E.D$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-01-2017 - 16:40