Chủ đề này có 4 trả lời

[123mothaiba]

Bài 1: Cho $x,y,z\ge 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{x+y+z}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$.

Bài 2: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}\ge \frac{4x+4y+4z}{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123mothaiba: 31-12-2016 - 17:48

[tritanngo99]

Bài 1: Cho $x,y,z\ge 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$. Chứng minh rằng:

$\sqrt{x+y+z}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$.

Bài 2: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}\ge \frac{4x+4y+4z}{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Lời giải bài 1: Đặt $(x-1;y-1;z-1)=(a;b;c)\to (x;y;z)=(a+1;b+1;c+1)$.

Quy về bài toán: Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2(1)$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}$.

Thật vậy, ta có: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}\iff \sum \sqrt{ab}\le \frac{3}{2}$.

Do $(1)$ nên tồn tại các số $m,n,p\ge 0$ thỏa mãn: $(a;b;c)=(\frac{m}{n+p};\frac{n}{m+p};\frac{p}{n+m})$.

Khi đó: $\sum \sqrt{ab}= \sum \sqrt{\frac{m}{n+p}.\frac{n}{m+p}}=\sum \sqrt{\frac{m}{m+p}.\frac{n}{n+p}}$.

Áp dụng $AM-GM$ ta có: $2\sqrt{\frac{m}{m+n}.\frac{n}{n+p}}\le \frac{m}{m+n}+\frac{n}{n+p}$.

Tương tự rồi cộng lại $\implies Q.E.D$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-01-2017 - 16:40

[123mothaiba]

Lời giải bài 1: Đặt $(x-1;y-1;z-1)=(a;b;c)\to (x;y;z)=(a+1;b+1;c+1)$.

Quy về bài toán: Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2(1)$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}$.

Thật vậy, ta có: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}\iff \sum \sqrt{ab}\le \frac{3}{2}$.

Do $(1)$ nên tồn tại các số $m,n,p\ge 0$ thỏa mãn: $(a;b;c)=(\frac{m}{n+p};\frac{n}{m+p};\frac{p}{n+m})$.

Khi đó: $\sum \sqrt{ab}= \sum \sqrt{\frac{m}{n+p}.\frac{n}{m+p}}=\sum \sqrt{\frac{m}{m+p}.\frac{n}{n+p}}$.

Áp dụng $AM-GM$ ta có: $2\sqrt{\frac{m}{m+n}.\frac{n}{n+p}}\le \frac{m}{m+n}+\frac{n}{n+p}$.

Tương tự rồi cộng lại $\implies Q.E.D$.

Ps: Bạn xem lại bài hai giúp mình, hình như nó sai đề ?!.

Thật vậy, ta có: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}\iff \sum \sqrt{ab}\le \frac{3}{2}$.
mình chưa hiểu đoạn đó,bngiải thích rõ hơn đc k.Hoặc bạn làm cách khác giúp mình đc k

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123mothaiba: 31-12-2016 - 18:55

[Element hero Neos]

Thật vậy, ta có: $\sqrt{a+b+c+3}\ge \sum \sqrt{a}\iff \sum \sqrt{ab}\le \frac{3}{2}$.
mình chưa hiểu đoạn đó,bngiải thích rõ hơn đc k.Hoặc bạn làm cách khác giúp mình đc k

Chỉ là bình phương lên thôi mà

$\sqrt{a+b+c+3}\geq\sum\sqrt{a}$

$\iff a+b+c+3\geq\sum a+2\sum\sqrt{ab}$

$\iff \frac{3}{2}\geq\sum\sqrt{ab}$

[tpdtthltvp]

Bài 2: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{x+y}}{z}+\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}\ge \frac{4x+4y+4z}{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$\sum [\frac{(x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)}}{z}]\geq 4\sum x \;\;\;\;\ (1)$$

Thật vậy:

$$VT(1)\geq \sum \frac{(x+y)(z+\sqrt{xy})}{z}=2\sum x+\sum \frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}\geq 2\sum x+\sum \frac{2xy}{z}$$

Mà 

$$\sum \frac{2xy}{z}=\sum (\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x})\geq \sum (2y)=2\sum x$$

Suy ra $(1)$ đúng.

Ta có đpcm. Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 01-01-2017 - 08:39