Chủ đề này có 5 trả lời

[LoveMath1234]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $a+b+c> 0$ :

Tìm Max của $P= \frac{a^2+b^2+4c^2}{(a+b+c)^2}$

[cyndaquil]

Nếu $c=0$ thì $\mathrm P=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2} =1-\frac {2ab}{(a+b)^2} \le 1$

Nếu $c\ne0$ thì  $\mathrm P\le \frac{(a+b)^2+4c^2}{(a+b+c)^2}=\frac{\left(\frac{a+b}c\right)^2+4}{\left( \frac{a+b}c+1\right)^2}$

Đặt $x=\frac {a+b}c, x  ≥ 0$

$\mathrm P \le \frac{x^2+4}{(x+1)^2} \le \frac{4x^2+8x+4}{(x+4)^2} =4$

 

KL: $\max \mathrm P=4\Leftrightarrow a=b=0,c>0$

 

[huykietbs]

 

Nếu $c=0$ thì $\mathrm P=\frac{a^2+b^2}{(a+b)^2} =1-\frac {2ab}{(a+b)^2} \le 1$

Nếu $c\ne0$ thì  $\mathrm P\le \frac{(a+b)^2+4c^2}{(a+b+c)^2}=\frac{\left(\frac{a+b}c\right)^2+4}{\left( \frac{a+b}c+1\right)^2}$

Đặt $x=\frac {a+b}c, x  ≥ 0$

$\mathrm P \le \frac{x^2+4}{(x+1)^2} \le \frac{4x^2+8x+4}{(x+4)^2} =4$

 

KL: $\max \mathrm P=4\Leftrightarrow a=b=0,c>0$

 

Mình có thể làm theo cách khác không bạn?

[cyndaquil]

Mình có thể làm theo cách khác không bạn?

Thực ra còn cách này đơn giản hơn

$\mathrm P=\frac{a^2+b^2+4c^2}{(a+b+c)^2} \le \frac{4(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \le \frac{4(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=4$

[huykietbs]

Thực ra còn cách này đơn giản hơn

$\mathrm P=\frac{a^2+b^2+4c^2}{(a+b+c)^2} \le \frac{4(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \le \frac{4(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=4$

Bạn có thể giải thích rõ hơn 1 chút được không mình vẫn chưa hiểu bài làm của bạn.

[tienduc]

Bạn có thể giải thích rõ hơn 1 chút được không mình vẫn chưa hiểu bài làm của bạn.

Do $a,b$ là các số thực dương nên có $a^{2}+b^{2}\leq 4(a^{2}+b^{2})$