Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$
$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$
#1
Đã gửi 06-01-2017 - 19:35
Life is not fair - get used to it!!!
Bill Gate
#2
Đã gửi 06-01-2017 - 19:44
Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$
$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$
.............
Tượng tự cộng vế theo vế ta có ĐPCM!
- thuydunga9tx yêu thích
#3
Đã gửi 06-01-2017 - 20:10
Chị làm chi tiết hết cả bài giúp em đc ko???$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$
.............
Tượng tự cộng vế theo vế ta có ĐPCM!
Life is not fair - get used to it!!!
Bill Gate
#4
Đã gửi 06-01-2017 - 20:22
Chị làm chi tiết hết cả bài giúp em đc ko???
Vậy là chi tiết lắm rồi mà
Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$
Xét
$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{a^{2}b+ab^{2}-a^{3}-b^{3}}{ab+5b^{2}}=\frac{ab(a+b)-(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{ab+5b^{2}}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (4b-a)$
Tương tự ta có: $\begin{bmatrix} \{\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}\leq 4c-b & \\ \frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 4a-c & \end{bmatrix}$
Cộng vế theo vế: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 4(a+b+c)-(a+b+c)=3(a+b+c)$ (ĐPCM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 06-01-2017 - 20:23
- thuydunga9tx yêu thích
#5
Đã gửi 06-01-2017 - 20:35
Cho em hỏi làm sao chị biết đc là phải thêm $-(4b-a)$$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(4b-a)=\frac{19b^3-a^3-(ab+5b^{2})(4b-a)}{ab+5b^2}=\frac{-(a-b)^{2}(a+b)}{ab+5b^2}\leq 0$
.............
Tượng tự cộng vế theo vế ta có ĐPCM!
Life is not fair - get used to it!!!
Bill Gate
#6
Đã gửi 06-01-2017 - 20:59
Cho em hỏi làm sao chị biết đc là phải thêm $-(4b-a)$
Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$
Đặt: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (m+3)b-ma$
Sở dĩ có thể đặt như này vì dễ đoán dấu bằng của BĐT là $a=b=c$, biến trong biểu thức là $a$ và $b$, và giá trị của 2 biểu thức tại dấu bằng là bằng nhau!
Khi đó quy đồng lên ta được:
$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(m+3)b-ma=\frac{-a^{3}-(5m-4)b^{3}+ma^{2}b+(4m-3)ab^{2}}{ab+5b^{2}}$
Nhìn biến số ta liên tưởng đến hệ thức $a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}=(a-b)^{2}(a+b)$ .
Thay vào ta được $m=1$. Tức là: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (1+3)b-1a=4b-a$
Đó là cách tư duy của chị. Em có thể tham khảo Phương Pháp UCT để nắm chắc hơn!
-----------------------------------------------
Một bài tương tự, em hãy tự thử sức:
Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
$\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c$
- thuydunga9tx yêu thích
#7
Đã gửi 06-01-2017 - 21:05
Cảm ơn chị nhiều nhé!! Để em thử xem sao!Đặt: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (m+3)b-ma$
Sở dĩ có thể đặt như này vì dễ đoán dấu bằng của BĐT là $a=b=c$, biến trong biểu thức là $a$ và $b$, và giá trị của 2 biểu thức tại dấu bằng là bằng nhau!
Khi đó quy đồng lên ta được:
$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(m+3)b-ma=\frac{-a^{3}-(5m-4)b^{3}+ma^{2}b+(4m-3)ab^{2}}{ab+5b^{2}}$
Nhìn biến số ta liên tưởng đến hệ thức $a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}=(a-b)^{2}(a+b)$ .
Thay vào ta được $m=1$. Tức là: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (1+3)b-1a=4b-a$
Đó là cách tư duy của chị. Em có thể tham khảo Phương Pháp UCT để nắm chắc hơn!
-----------------------------------------------
Một bài tương tự, em hãy tự thử sức:
Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
$\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c$
Life is not fair - get used to it!!!
Bill Gate
#8
Đã gửi 07-01-2017 - 00:44
Đặt: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (m+3)b-ma$
Sở dĩ có thể đặt như này vì dễ đoán dấu bằng của BĐT là $a=b=c$, biến trong biểu thức là $a$ và $b$, và giá trị của 2 biểu thức tại dấu bằng là bằng nhau!
Khi đó quy đồng lên ta được:
$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}-(m+3)b-ma=\frac{-a^{3}-(5m-4)b^{3}+ma^{2}b+(4m-3)ab^{2}}{ab+5b^{2}}$
Nhìn biến số ta liên tưởng đến hệ thức $a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2}=(a-b)^{2}(a+b)$ .
Thay vào ta được $m=1$. Tức là: $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq (1+3)b-1a=4b-a$
Đó là cách tư duy của chị. Em có thể tham khảo Phương Pháp UCT để nắm chắc hơn!
-----------------------------------------------
Một bài tương tự, em hãy tự thử sức:
Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng:
$\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c$
cho em hỏi sao là m+3 ??
#9
Đã gửi 07-01-2017 - 07:39
cho em hỏi sao là m+3 ??
Vì $VP$ có $3(a+b+c)$, mà hệ số của $a$ là $m$ nên của $b$ phải là $-(m+3)$ để sau khi cộng vế với vế nó sẽ đủ.
- thuydunga9tx yêu thích
#10
Đã gửi 07-01-2017 - 12:16
Cho a, b, c>0. Cmr:$\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{cb+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\leq 3(a+b+c)$
Cách khác
Ta có $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\rightarrow a^{3}+20b^{3}\geq ab(a+b)+19b^{3}$
$\rightarrow 20b^{3}-ab(a+b)\geq 19b^{3}-a^{3}$
$\rightarrow 19b^{3}-a^{3}\leq (ab+5b^{2})(4b-a)$
$\rightarrow \frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq 4b-a$
TT $\frac{19c^{3}-b^{3}}{cb+5c^{2}}\leq 4a-c;\frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 4a-c$
Cộng vế $\rightarrow VT \leq 3(a+b+c)$
- thuydunga9tx yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh