Chủ đề này có 2 trả lời

[NTMFlashNo1]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

                                               $x^{p}+y^{p}=p[(p-1)!]^{p}$

Với $p$ nguyên tố lẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTMFlashNo1: 06-01-2017 - 21:41

[Element hero Neos]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

                                               $x^{p}+y^{p}=p[(p-1)!]^{p}$

Áp dụng Fermat nhỏ có 

$x^p+y^p\equiv x+y(mod p)$

Suy ra

$x+y\equiv 0(mod p)$

Lại có

$x^p+y^p=(x+y)(x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1})$

Mà

$\left\{\begin{matrix} x\equiv -y(mod p)\\ p-1\vdots 2 \end{matrix}\right.$

Nên

$x^{p-1}-x^{p-2}y+...+y^{p-1}\equiv p.x^{p-1}(mod p)$

Do đó

$x^p+y^p\vdots p^2$

Mà theo định lý Willson nên

$p[(p-1)!]^p\equiv p.(-1)^p\equiv-p(mod p)$

Do đó mâu thuẫn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 06-01-2017 - 21:40

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

                                               $x^{p}+y^{p}=p[(p-1)!]^{p}$

Với $p$ nguyên tố lẻ

Ta sẽ chứng minh phương trình này vô nghiệm.

Giả sử tồn tại $x, y$ thỏa mãn đề bài. Mà do $(p-1)!$ $\not \vdots$ $p$ nên $\left [ (p-1)! \right ]^{p}$ $\not \vdots$ $p.$ Từ đó suy ra: $p.\left [ (p-1)! \right ]^{p}$ $\not \vdots$ $p^{2}$

*Nếu $x$ $\vdots$ $p$ thì do $x^{p}+y^{p}$ $\vdots$ $p$ nên dẫn đến $y$ $\vdots$ $p.$ Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên phải có: $x^{p}$ $\vdots$ $p^{2}$ và $y^{p}$ $\vdots$ $p^{2},$ từ đó suy ra: $\left ( x^{p}+y^{p} \right )$ $\vdots$ $p^{2}.$ Điều này mâu thuẫn do vế phải không chia hết cho $p^{2}.$

*Nếu $x$ $\not \vdots$ $p$ thì từ điều kiện đề bài suy ra $y$ $\not \vdots$ $p.$ Mà theo định lý $Fermat$ nhỏ thì ta có: $x^{p}+y^{p}\equiv x+y$ $($$mod$ $p$$)$ $\Rightarrow$ $x+y\equiv 0$ $($$mod$ $p$$).$

Do đó theo định lý $LTE$ thì ta có: $v_{p}\left ( x^{p}+y^{p} \right )=v_{p}\left ( x+y \right )+v_{p}\left ( p \right )\geq 1+1=2$ $\Rightarrow$ $\left ( x^{p}+y^{p} \right )$ $\vdots$ $p^{2}.$ Điều này mâu thuẫn do vế phải không chia hết cho $p^{2}.$

Vậy suy ra không tồn tại $x, y$ thỏa mãn đề bài hay phương trình ban đầu vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 26-12-2017 - 11:44