Chủ đề này có 2 trả lời

[Thao Meo]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh 

$\frac{a}{b^2(ca+1)}+\frac{b}{c^2(ab+1)}+\frac{c}{a^2(bc+1)}\geq \frac{9}{(1+abc)(ab+bc+ca)}$

[thang1308]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh 

$\frac{a}{b^2(ca+1)}+\frac{b}{c^2(ab+1)}+\frac{c}{a^2(bc+1)}\geq \frac{9}{(1+abc)(ab+bc+ca)}$

Mình mới giải được 1 bài tương tự thế này thôi:

$\sum \frac{1}{b^2(ac+1)}\geq \frac{9}{(abc+1)(ab+bc+ca)} (1) $. Thôi thì cứ ghi ra vậy 

$(1)\Leftrightarrow \sum \frac{ab+bc+ca}{b^2(ac+1)}\geq \frac{9}{abc+1}$. 

Xét $VT=\sum (\frac{a+c}{abc+b}+\frac{ac}{b^2(ac+1)})\geq \frac{4(a+b+c)^2}{3abc+\sum a}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{3a^2b^2c^2+abc(a+b+c)}=\frac{6}{abc+1}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{abc(a+b+c)}.\frac{1}{abc+1}\geq \frac{6}{abc+1}+\frac{3}{abc+1}=\frac{9}{abc+1}$

(đúng do $(ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)$ và $a+b+c=3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 11-01-2017 - 18:22

[toannguyenebolala]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh 

$\frac{a}{b^2(ca+1)}+\frac{b}{c^2(ab+1)}+\frac{c}{a^2(bc+1)}\geq \frac{9}{(1+abc)(ab+bc+ca)}$

$\sum \frac{a}{b^2(ca+1)}=\sum \frac{\frac{1}{b^2}}{c+\frac{1}{a}}\geq \frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{\sum \frac{1}{a}+\sum a}=\frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{\sum \frac{1}{a}+3}=\frac{(\sum ab)^2}{abc(\sum ab)+3a^2b^2c^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{q^2}{rq+3r^2}\geq \frac{9}{q(r+1)}$

Điều này tương đương với $q^3+q^3r\geq 9qr+27r^2\Leftrightarrow q(q^2-9r)+r(q^3-27r)\geq 0$ (đúng do AM-GM)

Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$