Chủ đề này có 1 trả lời

[Dark Repulsor]

Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:

$1)$ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f(f(x-y))+xy=f(x)-f(y)+f(x)f(y)$ $\forall x,y\in\mathbb{R}$

$2)$ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:f(x+f(y))-f(x)=\frac{xf(2y)}{2}+f(f(y))$ $\forall x,y\in\mathbb{R}$

$3)$ $f$ liên tục trên $R$ $:f(2x-f(x))=11x$ $\forall x\in\mathbb{R}$

$4)$ $f$ liên tục trên $R$ $:xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$ $\forall x,y\in\mathbb{R}$

$5)$ $f:\mathbb{R^{+}}\rightarrow\mathbb{R^{+}}:f(y+f(x))=xf(1+xy)$ $\forall x,y\in\mathbb{R^{+}}$

$6)$ $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}:f(y+f(x))=f(x)f(y)$ $\forall x,y\in\mathbb{Q}$

[Ankh]

1. PT: $f(f(x-y))+xy=f(x)-f(y)+f(x)f(y)$ (1)

Thay $x=y$ vào (1) ta được $f(x)^2=x^2+f(f(0)),\forall x\in \mathbb{R}$

 Suy ra $f(x)^2=f(-x)^2,\forall x\in \mathbb{R}$, giả sử tồn tại $\alpha \neq 0$ sao cho $f(\alpha)=f(-\alpha)$.

 Thay $y:=0$ vào (1) thì $f(f(x))=f(x)(f(0)+1)-f(0),\forall x\in \mathbb{R}$ (2)

 Thay $x:=0$ vào (1) thì $f(f(-y))=f(y)(f(0)-1)-f(0),\forall y\in \mathbb{R}$ (3)

 Từ (2) và (3) suy ra $f(-y)(f(0)+1)-f(0)=f(y)(f(0)-1)-f(0),\forall y\in \mathbb{R}$ (4)

 Thay $y:=\alpha$ vào (4) suy ra $f(\alpha)=f(0)\Rightarrow f(\alpha)^2=f(0)^2\Rightarrow \alpha ^2+f(f(0))=f(f(0))\Rightarrow \alpha =0$, vô lí.

 Do đó $f(x)=-f(-x),\forall x\in \mathbb{R}$, thay vào (4) suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(y)\equiv 1$ (vô lí).

 Từ $f(0)=0$ suy ra $f(x)^2=x^2$ và $f(f(x))=f(x)$, từ đây suy ra $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$, thử lại thấy đúng