Chủ đề này có 4 trả lời

[tritanngo99]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a=max(a,b,c)\\b^2(17a+10c)+c^2(17a+10b)=27a^2(b+c) \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng: $18a^3+20abc\ge (4b^2+4c^2+11bc)(b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 28-01-2017 - 08:32

[royal1534]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a=max(a,b,c)\\b^2(17a+10c)+c^2(17a+10b)=27a^2(b+c) \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng: $18a^3+20abc\ge (4b^2+4c^2+11bc)(b+c)$

Lời giải (Với điều kiện $a,b,c$ dương) :

Từ giả thiết ta có : $(a-b)(a-c) \geq 0 \Rightarrow a^2+bc \geq ab+ac \Rightarrow a^3+abc \geq a^2(b+c)$

Khai thác giả thiết ta có :

$$17a(b^2+c^2)+10bc(b+c)=27a^2(b+c)$$

$$\Rightarrow 17a(b^2+c^2)+10bc(b+c) \leq 27(a^3+abc)$$

$$\Rightarrow a[17(b^2+c^2)+3bc]+10bc(b+c) \leq 27a^3+30abc$$

Ta có BĐT phụ sau : $17(b^2+c^2)+3bc \geq \frac{37}{4}(b+c)^2 \Leftrightarrow 31(b-c)^2 \geq 0$

$$\Rightarrow 27a^3+30abc \geq \frac{37a}{4}(b+c)^2+10bc(b+c)$$

$$\Rightarrow 18a^3+20abc \geq \frac{2}{3}.[\frac{37a}{4}(b+c)^2+10bc(b+c)]$$

Ta quy bài toán về chứng minh : 

$$\frac{2}{3}.[\frac{37a}{4}(b+c)^2+10bc(b+c)] \geq (b+c)(4b^2+4c^2+11bc)$$

$$\Leftrightarrow \frac{37a(b+c)}{4}+10bc \geq 6(b^2+c^2)+\frac{33bc}{2}$$

Sử dụng giả thiết : $a \geq b$, $a \geq c$. Ta có $\frac{37a(b+c)}{4} \geq \frac{37}{4}.(b^2+c^2)$

Bài toán đưa về chứng minh 

$$\frac{37}{4}(b^2+c^2)+10bc \geq 6(b^2+c^2)+\frac{33bc}{2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{13}{4}(b-c)^2 \geq 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 28-01-2017 - 13:41

[tritanngo99]

Lời giải :
Từ giả thiết ta có : $(a-b)(a-c) \geq 0 \Rightarrow a^2+bc \geq ab+ac \Rightarrow a^3+abc \geq a^2(b+c)$
Khai thác giả thiết ta có :
$$17a(b^2+c^2)+10bc(b+c)=27a^2(b+c)$$
$$\Rightarrow 17a(b^2+c^2)+10bc(b+c) \leq 27(a^3+abc)$$
$$\Rightarrow a[17(b^2+c^2)+3bc]+10bc(b+c) \leq 27a^3+30abc$$
Ta có BĐT phụ sau : $17(b^2+c^2)+3bc \geq \frac{37}{4}(b+c)^2 \Leftrightarrow 31(b-c)^2 \geq 0$
$$\Rightarrow 27a^3+30abc \geq \frac{37a}{4}(b+c)^2+10bc(b+c)$$
$$\Rightarrow 18a^3+20abc \geq \frac{2}{3}.[\frac{37a}{4}(b+c)^2+10bc(b+c)]$$
Ta quy bài toán về chứng minh : 
$$\frac{2}{3}.[\frac{37a}{4}(b+c)^2+10bc(b+c)] \geq (b+c)(4b^2+4c^2+11bc)$$
$$\Leftrightarrow \frac{37a(b+c)}{4}+10bc \geq 6(b^2+c^2)+\frac{33bc}{2}$$
Sử dụng giả thiết : $a \geq b$, $a \geq c$. Ta có $\frac{37a(b+c)}{4} \geq \frac{37}{4}.(b^2+c^2)$
Bài toán đưa về chứng minh 
$$\frac{37}{4}(b^2+c^2)+10bc \geq 6(b^2+c^2)+\frac{33bc}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{13}{4}(b-c)^2 \geq 0$$

Lời giải của em hay, nhưng chưa chặt lắm. Ta chỉ có: $a^3+abc\ge a^2(b+c)$ khi $a\ge 0$. Còn $a<0?$

[royal1534]

Lời giải của em hay, nhưng chưa chặt lắm. Ta chỉ có: $a^3+abc\ge a^2(b+c)$ khi $a\ge 0$. Còn $a<0?$

Hic. Tạm thời em sẽ để lời giải với điều kiện $a,b,c$ dương vậy.

[phamngochung9a]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a=max(a,b,c)\\b^2(17a+10c)+c^2(17a+10b)=27a^2(b+c) \end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng: $18a^3+20abc\ge (4b^2+4c^2+11bc)(b+c)$

Lời giải với điều kiện $a,b,c$ thực:

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} b=xa & \\ c=ya & \end{matrix}\right.$

 

Khi đó giả thiết trở thành: $x^{2}\left ( 17+10y \right )+y^{2}\left ( 17+10x \right )=27\left ( x+y \right )$

 

Cần chứng minh: $18+20xy\geq \left ( 4x^{2}+4y^{2}+11xy \right )\left ( x+y \right )$

 

Lại đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=S & \\ xy=P & \end{matrix}\right.$, ta có: $17\left ( S^{2}-2P \right )+10SP=27S\Rightarrow P=\frac{17S^{2}-27S}{34-10S}$

 

Khi đó: $VT-VP=18+20P-S\left ( 4S^{2}+3P \right )=18-4S^{3}+P\left ( 20-3S \right )\\=18-4S^{3}+\left ( 20-3S \right ).\frac{17S^{2}-27S}{34-10S}=\frac{\left ( S-2 \right )^{2}\left ( 40S^{2}-27S+153 \right )}{20-3S}$

 

• Nếu $a\geq 0$ thì: $a.S=b+c\leq 2a\Rightarrow S\leq 2\Rightarrow 20-3S> 0\Rightarrow VT\geq VP$
• Nếu $a<0$ thì: $b< 0$ và $c< 0$$\Rightarrow P> 0\Rightarrow \frac{4S^{3}-18}{20-3S}>0\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{18}{4}}< S< \frac{20}{3}\Rightarrow 20-3S>0$

$\Rightarrow VT\geq VP$

 

Ta có điều phải chứng minh$\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 28-01-2017 - 16:37