Chủ đề này có 2 trả lời

[Laxus]

1. cho 3 số dương x,y,z thỏa x+y+z$\leq$1.cm 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

2. cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1. cm

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 30$

[viet9a14124869]

Câu 1 ,,,,

Sử dụng bdt bunhiacopxki thì $\sqrt{(x^2+\frac{1}{x^2})(1+81)}\geq x+\frac{9}{x}\geq \frac{2}{3}+\frac{80}{9x}\Rightarrow \sqrt{82}\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq 2+\frac{80}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 2+\frac{80}{9}.\frac{9}{x+y+z}\geq 82\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$......^-^

 

Câu 2 ....$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq \frac{30}{(a+b+c)^2}=30\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$ ,,,,^-^

[Dark Magician 2k2]

1. cho 3 số dương x,y,z thỏa x+y+z$\leq$1.cm 

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^{2}}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng Mincopsky có:

$P=\sum\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq \sqrt{(\sum x)^2+(\sum\frac{1}{x})^2}$

Áp dụng Engel có:

$P\geq\sqrt{(\sum x)^2+(\frac{9}{\sum x})^2}=\sqrt{(\sum x)^2+\frac{1}{(\sum x)^2}+\frac{80}{(\sum x)^2}}$

Áp dụng AM-GM có:

$P\geq\sqrt{2.\sqrt{(\sum x)^2.\frac{1}{(\sum x)^2}}+\frac{80}{(\sum x)^2}}=\sqrt{82}$

Vậy ...