Chủ đề này có 3 trả lời

[lanh24042002]

cho a,b,c>0.CMR:

$\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

[NHoang1608]

Giả sử $a \geq b\geq c>0$. Ta sẽ chứng minh biểu thức sau lớn hơn hoặc bằng 0.

$A=\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+a^{2}} \right )-\left ( \frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c} +\frac{c}{a+b} \right )$

    $=ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}-\frac{1}{(a^{2}+c^{2})(a+c)} \right ]+ac(a-c)\left [ \frac{1}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}-\frac{1}{(a^{2}+b^{2})(a+b)} \right ]+bc(b-c)\left [ \frac{1}{(a^{2}+c^{2})(a+c)}-\frac{1}{(a^{2}+b^{2})(a+b)} \right ]$

Vì  $a \geq b\geq c>0$ nên biểu thức vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0. ĐPCM

[DauKeo]

mấy bài này trong sách NC và PT 8 đó!!!

[KietLW9]

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqslant 0$