Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1
$\frac{1}{ab +2 c^2+2c}+\frac{1}{bc+2a^2+2a}+\frac{1}{ac+2b^2+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$
$\frac{1}{ab +2 c^2+2c}+\frac{1}{bc+2a^2+2a}+\frac{1}{ac+2b^2+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$
Bắt đầu bởi Thao Meo, 07-03-2017 - 23:25
#1
Đã gửi 07-03-2017 - 23:25
Thao Meo
-
- Thành viên
-
- 122 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 08-05-2021 - 08:53
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1
$\frac{1}{ab +2 c^2+2c}+\frac{1}{bc+2a^2+2a}+\frac{1}{ac+2b^2+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$
Ta có: $\frac{1}{ab+2c^2+2c}=\frac{1}{ab+2c^2+2c(a+b+c)}=\frac{1}{(4c^2+2ac)+(ab+2bc)}=\frac{1}{(2c+a)(2c+b)}=\frac{ab}{(2bc+ab)(2ca+ab)}\geqslant \frac{ab}{\frac{(2bc+ab+2ca+ab)^2}{4}}=\frac{ab}{(ab+bc+ca)^2}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{ab +2 c^2+2c}+\frac{1}{bc+2a^2+2a}+\frac{1}{ac+2b^2+2b}\geqslant \frac{ab+bc+ca}{(ab+bc+ca)^2}=\frac{1}{ab+bc+ca}(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
