Chủ đề này có 1 trả lời

[Coppy dera]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTLN:

 

$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

[tienduc]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTLN:

 

$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ có

$(a^3+b^2+c)(\frac{1}{a}+1+c)\geq (a+b+c)^2\rightarrow \frac{a}{a^3+b^2+c}\leq \frac{a(\frac{1}{a}+1+c)}{(a+b+c)^2}$

CMTT $\rightarrow \frac{b}{b^3+c^2+a}\leq \frac{b(\frac{1}{b}+1+a)}{(a+b+c)^2};\frac{c}{c^3+a^2+b}\leq \frac{c(\frac{1}{c}+1+b)}{(a+b+c)^2}$

Cộng vế

$\rightarrow P\leq \frac{a(\frac{1}{a}+1+c)+b(\frac{1}{b}+1+a)+c(\frac{1}{c}+1+b)}{(a+b+c)^2}= \frac{3+a+b+c+ab+bc+ca}{(a+b+c)^2}$

Lại có $3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2 \rightarrow ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\rightarrow P\leq \frac{3+a+b+c+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}{(a+b+c)^{2}}= 1$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$