Cho a,b,c dương . CMR : $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right )$
Cực tri
#1
Đã gửi 22-03-2017 - 16:34
$\sum_{x=7}^{18}x^{2}=2018$
#2
Đã gửi 22-03-2017 - 17:10
- HoangKhanh2002, viet9a14124869 và Haton Val thích
#3
Đã gửi 23-03-2017 - 12:24
Cho a,b,c dương . CMR : $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 2\left ( 1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} \right )$
Cách khác
$VT=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})=2+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c})-1$
Áp dụng BĐT $Cauchy$ cho 3 số ta có
$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{a}\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}};\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}\geq \frac{3b}{\sqrt[3]{abc}};\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\geq \frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}$
Cộng vế $\rightarrow VT\geq 2(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}-1\geq 2(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}-1= 2(\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})+2=VP$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-03-2017 - 12:25
- Haton Val yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh