Chủ đề này có 2 trả lời

[gagaga]

cho a,b,c >0. CMR:

$\frac{a^{2}}{b} +\frac{b^{2}}{c} +\frac{c^{2}}{a} \geq \sqrt[4]{\frac{a^{4}+b^{4}}{2}} +\sqrt[4]{\frac{b^{4}+c^{4}}{2}} + \sqrt[4]{\frac{c^{4}+a^{4}}{2}}$

[tuaneee111]

Ta có:

 \[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{b}}  - \sum\limits_{cyc} {\sqrt[4]{{\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2}}}}  = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left[ {\frac{{2\left( {a + b + \sqrt[4]{{8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)}}} \right)\left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \sqrt {8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)} } \right) - b\left( {7{a^2} + 10ab + 7{b^2}} \right)}}{{2b\left( {a + b + \sqrt[4]{{8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)}}} \right)\left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \sqrt {8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)} } \right)}}} \right]} \]

Theo AM-GM ta có: \[8\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^4}\]

Khi đó: 

\[{S_c} = \frac{{2\left( {a + b + \sqrt[4]{{8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)}}} \right)\left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \sqrt {8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)} } \right) - b\left( {7{a^2} + 10ab + 7{b^2}} \right)}}{{2b\left( {a + b + \sqrt[4]{{8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)}}} \right)\left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \sqrt {8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)} } \right)}}\]

\[ \ge \frac{{8{{\left( {a + b} \right)}^3} - b\left( {7{a^2} + 10ab + 7{b^2}} \right)}}{{2b\left( {a + b + \sqrt[4]{{8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)}}} \right)\left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \sqrt {8\left( {{a^4} + {b^4}} \right)} } \right)}} > 0\]

Chứng minh tương tự ta có:

\[{S_a},{S_b} > 0\]

Vậy ta có đpcm

[gagaga]

bạn có cách nào khác mà k dùng SOS k?