Chủ đề này có 3 trả lời

[vuthituoi2002]

Cho ba số dương a, b và c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

[viet9a14124869]

Cho ba số dương a, b và c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}+2b^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+2c^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+2a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}$

Ta có $\sum \frac{2}{a^2+2b^2+3}\leq \sum \frac{2}{2ab+2b+2}=\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{b}{abc+ab+b}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}=1\Rightarrow Q,E,D \Leftrightarrow a=b=c=1$           

[tuaneee111]

Bài này mk làm hơi trầy cối!

Đặt a^2=x;b^2=y;c^2=z. Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

\[\sum\limits_{cyc}^{x,y,z} {\frac{1}{{x + 2y + 3}}}  = \frac{{\sum\limits_{cyc} {\left( {y + 2z + 3} \right)\left( {z + 2x + 3} \right)} }}{{\prod\limits_{cyc} {\left( {x + 2y + 3} \right)} }}\]

\[ = \frac{{7\sum\limits_{cyc} {xy}  + 18\sum\limits_{cyc} x  + 2\sum\limits_{cyc} {{x^2}}  + 27}}{{9xyz + 21\sum\limits_{cyc} {xy}  + 6\sum\limits_{cyc} {{x^2}}  + 2\sum\limits_{cyc} {xy\left( {x + y} \right)}  + 2\sum\limits_{cyc} {x{y^2}}  + 27\sum\limits_{cyc} x  + 27}}\]

Đổi biến theo pqr khi đó cần chứng minh:

\[7q + 2\left( {{p^2} - 2q} \right) + 2\left( {pq - 3} \right) + 2\left( {x{y^2} + {x^2}z + y{z^2}} \right) - 9p + 9 - 27 \ge 0\]

Theo AM-GM ta có:

\[2\left( {x{y^2} + {x^2}z + y{z^2}} \right) \ge 6;\,\,q \ge \frac{9}{p}\]

khi đó cần chứng minh

\[f\left( p \right) = 2{p^2} - 9p + \frac{{27}}{p} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {p - 3} \right)^2}\left( {2p + 3} \right) \ge 0\]

Bất đẳng thức cuối nên có đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 07-04-2017 - 20:18

[diemdaotran]

ta có: $(a-b)^2+(b-1)^2\geq 0\Leftrightarrow a^2+2b^2+3\geq 2ab+2b+2 \Leftrightarrow \frac{1}{a^2+2b^2+3}\leq \frac{1}{2ab+2b+2}$

tương tự cộng vế ta rồi cm tiep ta được $\frac{1}{2ab+2b+2}+\frac{1}{2bc+2c+2}+\frac{1}{2ca+2a+2}\doteq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow$ đpcm   

DBXR khi a=b=c=1