Chủ đề này có 2 trả lời

[diemdaotran]

cho 3 số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ Tìm MAX

        $\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}+\frac{2(a+b+c)^2}{3}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 08-07-2017 - 19:55

[Minhnksc]

cho 3 số a,b,c thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ Tìm MAX

        $\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}+\frac{2(a+b+c)^2}{3}$ 

Nhớ không nhầm thì hình như bài này dùng Dirichlet để loại bớt biến.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 15-04-2017 - 19:47

[diemdaotran]

Vì a; b; c >0 nên từ giả thiết $\Rightarrow a; b; c    \in(0;2)$

 Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 số có tích không âm

Không mất tính tổng quát giả sử (b-1)(c-1)$\geq 0\Leftrightarrow bc+1\geq b+c$

Ta có  4=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq a^{2}+2bc+abc$   (BĐT Cô-si)

          $\Leftrightarrow 4-(a^{2}+2bc+abc)\geq 0\Leftrightarrow (a+2)(2-a-bc)\geq 0$

Vì 0<a<2 $\Rightarrow 2-a-bc\geq 0\Leftrightarrow 2\geq a+bc\Leftrightarrow 2\geq a+bc+abc-abc\Leftrightarrow 2\geq a(bc+1)+bc-abc$. Mà bc+1$\geq b+c\Rightarrow 2\geq a(b+c)+bc-abc\Leftrightarrow 2\geq ab+bc+ca-abc\Leftrightarrow 6\geq ab+bc+ca-abc+4$

Kết hợp với $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$ được

6$\geq ab+bc+ca-abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=ab+bc+ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow 12\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow 12-(a+b+c)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$  (1)

 Áp dụng BĐT Schwarz ta được: 

$\frac{a^{2}}{2a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+1}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3}$  (2)

Đặt $(a+b+c)^{2}\doteq x (x\geq 0)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+1}\geq \frac{x}{2(12-x)+3}\doteq \frac{x}{27-2x}$  (*)

Ta có:   $(x-9)^{2}\geq 0 (\forall x)$$x^{2}-18x+81\geq 0\Leftrightarrow 2x^{2}-36x+162\geq 0\Leftrightarrow 3x\geq 39x-2x^{2}-162\Leftrightarrow 3x\geq 27x-162-2x^{2}+12x\doteq (x-6)(27-2x)\Leftrightarrow \frac{x}{27-2x}\geq\frac{x-6}{3}$  (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+1}\geq \frac{x-6}{3}$

  $\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+1}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+1}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+1}-\frac{x}{3}\geq -2$

$\Leftrightarrow \frac{-2a^{2}}{2a^{2}+1}+\frac{-2b^{2}}{2b^{2}+1}+\frac{-2c^{2}}{2c^{2}+1}+\frac{2x}{3}\leq 4$

$\Leftrightarrow (\frac{-2a^{2}}{2a^{2}+1}+1)+(\frac{-2b^{2}}{2b^{2}+1}+1)+(\frac{-2c^{2}}{2c^{2}+1}+1)+\frac{2x}{3}\leq 7$

$\Rightarrow \frac{1}{2a^{2}+1}+\frac{1}{2b^{2}+1}+\frac{1}{2c^{2}+1}+\frac{2(a+b+c)^{2}}{3}\leq 7$

 Vậy Max =7 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diemdaotran: 08-07-2017 - 09:52