Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenducanh2002]

Cho x,y > 0 thoả mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = (x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

[ThuThao36]

Cho x,y > 0 thoả mãn x + y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = (x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})$

$P=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2$

$P=x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}+\frac{255}{256x^{2}y^{2}}+2$

$x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}$

$xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{255}{256x^{2}y^{2}}\geq \frac{255}{16}$

$\Rightarrow P\geq \frac{289}{16}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ x^{2}y^{2}=\frac{1}{256x^{2}y^{2}} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuThao36: 17-04-2017 - 22:10

[AnhTran2911]

bạn có thể dùng bunhia trước : $(x^{2}+\frac{1}{y^2})(y^{2}+\frac{1}{x^2})\geq(xy+\frac{1}{xy})^{2}$ 

sau đó sd phép tách ghép nhóm xy với $\frac{1}{16xy}$ sau đó dùng AMGM nữa là đc

kiến thức mình hạn hẹp nên chỉ góp ý đc đến đó thôi.