Chủ đề này có 2 trả lời

[Black Pearl]

Cho $x,y,z>0$

CMR $A=\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}+\sqrt[3]{4(y^3+z^3)}+\sqrt[3]{4(x^3+z^3)}+2(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2})\geq 12$

[ThuThao36]

Cho $x,y,z>0$

CMR $A=\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}+\sqrt[3]{4(y^3+z^3)}+\sqrt[3]{4(x^3+z^3)}+2(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2})\geq 12$

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y) \Rightarrow 3(x^{3}+y^{3})\geq 3xy(x+y) \Rightarrow 4(x^{3}+y^{3})\geq (x+y)^{3}$

Do đó:

$A\geq 2(x+y+z+\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}})$

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

$\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}$

$\Rightarrow A\geq 2.3.2.\sqrt{\sqrt[3]{xyz}.\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}}=12$

Dấu = xảy ra khi x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuThao36: 18-04-2017 - 22:59

[TrBaoChis]

$\sum$ $\sqrt[3]{4x^3+4y^3}$ $\geq$ $\sum$ $\sqrt[3]{(x+y)^3}$ $=$ 2$\sum$ $x$

$\rightarrow$ $A$ $\geq$ 2$\sum$($x$ + $\frac{x}{y^2}$)  

$mà$ $x$ + $\frac{x}{y^2}$ $\geq$ $\frac{2x}{y}$   ($AM-GM$) 

$\rightarrow$ $A$ $\geq$ 2$\sum$ $\frac{x}{y}$ $\geq $ $12$     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 18-04-2017 - 23:03