Chủ đề này có 4 trả lời

[TenLaGi]

Cho ab+cb+ca+abc$\leq 4$.CMR $ a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aditconmeno: 22-04-2017 - 20:19

[sharker]

Cho ab+cb+ca+abc$\leq 4$.CMR $ a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$$

$4\sqrt[4]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} \le ab + bc + ac + abc = 4 \to 1 \ge abc\\$

 $\to a + b + c \ge 3abc\\$

Theo Nguyên lý diricle:

$(a - 1)(b - 1) \ge 0$

 $\Leftrightarrow ab + 1 \ge a + b$

 $\Leftrightarrow 2abc + 2ab + c \ge 2ac + 2bc + 2ab$ $1$

Mà theo AM-GM 

$ {a^2} + {b^2} + {c^2} + 1 \ge 2ab + 2c $ $2$

cộng $(1)$ với $(2)$ ta được ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2(ab + bc + ac)$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3abc + 1 \ge 2(ab + bc + ac) + abc $

$ \to {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c + 1 \ge 2(ab + bc + ac) + abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 23-04-2017 - 08:23

[NHoang1608]

 

$4\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} \le ab + bc + ac + abc = 4 \to 1 \ge abc\\$

 $\to a + b + c \ge 3abc\\$

Theo Nguyên lý diricle:

$ (a-1)(b-1)\geq 0 $

$ \Leftrightarrow ab+1\geq a+b $

$\Leftrightarrow $ 2abc + 2ab + 2c \ge 2(ab + bc + ca) $ $(1)$

Mà Theo AM-GM:${a^2} + {b^2} + {c^2} + 1 \ge 2ab + 2c $ $$

cộng $(1)$ với $(2)$ ta được ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2(ab + bc + ac)$

$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 3abc + 1 \ge 2(ab + bc + ac) + abc $

$ \to {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c + 1 \ge 2(ab + bc + ac) + 

Đoạn này là sao vây a.

Cách giải của e:

Từ gt suy ra  $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \geq 1$ 

Suy ra               $\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} \leq 1$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ thì ta có: $\frac{a^{2}}{a^{2}+2a}+\frac{b}{b^{2}+2b}+\frac{c}{c^{2}+2c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)}$

Mà $\frac{a^{2}}{a^{2}+2a}+\frac{b}{b^{2}+2b}+\frac{c}{c^{2}+2c} =\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} \leq 1$

            $\Rightarrow 1 \geq \frac{a^{2}}{a^{2}+2a}+\frac{b}{b^{2}+2b}+\frac{c}{c^{2}+2c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)}$

Suy ra      $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)} \leq 1$

                  $\Rightarrow 2(a+b+c) \geq 2(ab+bc+ca)$

Kết hợp      $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$ thì ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 23-04-2017 - 07:54

[sharker]

Đoạn này là sao vây a.

Cách giải của e:

Từ gt suy ra  $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \geq 1$ 

Suy ra               $\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} \leq 1$

Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ thì ta có: $\frac{a^{2}}{a^{2}+2a}+\frac{b}{b^{2}+2b}+\frac{c}{c^{2}+2c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)}$

Mà $\frac{a^{2}}{a^{2}+2a}+\frac{b}{b^{2}+2b}+\frac{c}{c^{2}+2c} =\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2} \leq 1$

            $\Rightarrow 1 \geq \frac{a^{2}}{a^{2}+2a}+\frac{b}{b^{2}+2b}+\frac{c}{c^{2}+2c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)}$

Suy ra      $\frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a+b+c)} \leq 1$ ko biết đúng ko @@. Phân trên gõ nhầm căn 4 chứ ko phải căn 3 :3 

                  $\Rightarrow 2(a+b+c) \geq 2(ab+bc+ca)$

Kết hợp      $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$ thì ta có đpcm.

 

$\[a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc.1.1}} \ge 3\sqrt[3]{{abc.abc.abc}} = 3abc\]$ ko biết đúng ko @@. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 23-04-2017 - 08:27

[TenLaGi]

 

$ \to {a^2} + {b^2} + {c^2} + a + b + c + 1 \ge 2(ab + bc + ac) + abc$

 

đến đoạn này vẫn chưa đc mà