Lời giải bài 1 :
. Đối trung $AG$của tam giác $ABC$.$MA$ cắt $BL$ tại $A'$ . $BM$ cắt $CN$ tại $P'$
Ta sẽ chứng minh $AP' \perp BC$ .Ta có $\widehat{NAB}=\widehat{MAC}$ .và $NBA=MCA=90$ Dựng $U$ nằm ngoài tam giác và $AU \perp BC$ sao cho $\frac{AU}{BC}=\frac{AB}{BN}=\frac{AC}{CM}=>\bigtriangleup NBC\sim \bigtriangleup BAU,\bigtriangleup MBC\sim \bigtriangleup CUA$ Từ đó $BU\perp CN ,CU\perp BM$ nên $P'$ là trực tâm tam giác $UBC$ . Khi đó $AP' \perp BC$.
Gọi $LM$ cắt $AP'$ tại $P_1$.Do $L$ là trung điểm của $A'B$ nên $P_1$ là trung điểm $AP'$. trương tự suy ra $P'=P_1$ và là trung điểm $AP'$
$V_{A}^{2} :K,L,X,Y,Z,P \mapsto K',L',X',Y',Z',T',P'$ Khi đó $P'$ là giao của $BM,CN$ ta chứng minh $(X'Y'Z')$ tiếp xúc $BC$
Ta sẽ chứng minh $AP' \perp BC$ .Ta có $\widehat{NAB}=\widehat{MAC}$ . Dựng $U$ nằm ngoài tam giác và $AU \perp BC$ sao cho $\frac{AU}{BC}=\frac{AB}{BN}=\frac{AC}{CM}=>\bigtriangleup NBC\sim \bigtriangleup BAU,\bigtriangleup MBC\sim \bigtriangleup CUA$ Từ đó $BU\perp CN ,CU\perp BM$ nên $P'$ là trực tâm tam giác $UBC$ . Khi đó $AP' \perp BC$
Tiếp theo ta có : $(AX'Z'BL')(AX'Y'CK')$ tiếp xúc với $BC$,.Mặt khác , Gọi tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$ . Khi đó : $MN$ đy qua $T$ . $AO$ cắt $(O)$ tại $J$ .Khi đó , do $(TGBC)=-1$ nên $J,G,P'$ thẳng hàng
Nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì : ( tên điểm vẫn giữ nguyên khi nghịch đảo )
Cho tam giác $AB$ nội tiếp $(Q)$ có đường cao $AJ$ . tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ cắt nhau tại $X'$. trung tuyến đỉnh $A$ cắt $(ABC)$ tại $G$. $(AGJ)$ cắt $AQ$ tại $P'$ . Đường thẳng qua $P'$ vuông góc với $AQ$ cắt $BX',CX'$ tại $Z',Y'$ . Chứng minh :$(X'Z'Y')$ tiếp xúc $(Q)$
Giải : ,
Gọi đường kính $AE$ . $GE$ cắt $BC$ tại $F$ . $R$ là trung điểm $BC$.
Giả sử : $(BRG)(CRG)$ cắt $BX',CX'$ tại $Z_1,Y_1$ khi đó $\frac{RZ_1}{RY_1}=\frac{GZ_1}{GR}=\frac{GB}{GC}=\frac{AC}{AB}$
Suy ra $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup RY_1Z_1 \Rightarrow \widehat{RY_1Z_1}=\widehat{RY_1C}$ nên $R$ là tâm bàng tam giác $X'Y_1Z_1$ . Suy ra $(Q)$ là đường tròn $Mixtilinear$ của tam giác $X'Y_1Z_1$ nên $(X'Y_1Z_1)$ tiếp xúc $(Q)$
Ta cần chứng minh $Y_1,Z_1\equiv Y',Z'$ . Gọi $I$ là trung điểm cung $Y_1Z_1$ của $(X'Y_1Z_1)$ , khi đó Ta có các tc sau của dường tròn $Mixtilinear$ được cm ở đây ( https://nguyenvanlin...mixtilinear.pdf )
1) $IG\perp GR$
2) $IG,BC,Y_1Z_1$ đồng quy
Khi đó $Y_1Z_1$ đy qua $P'$ và $Y_1Z_1$ vuông góc $AQ$( cộng góc ) nên $Y_1,Z_1\equiv Y',Z'$ . Ta có dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 25-04-2017 - 06:33